5.3 Собственные значения и собственные векторы

Число λ и ненулевой вектор b называют, соответственно, собственным значением и собственным вектором квадратной матрицы A, если

A ¯ b = λ ¯ b. (5.2)

Равенство (5.2) моясно иеренисать в матричном виде

A ¯ b = λE ¯ b или (A - λE)¯ b = ¯0,

где ¯ b — матрица-столбец, составленная из координат вектора ¯ b.

Теорема 29. Собственные значения матрицы A совпадают с корнями характери­стического уравнения

|A-λE| = 0.

Таким образом, чтобы найти собственные значения λ, нуясно решить уравнение

|A-λE| = 0, (5.3)

а чтобы найти собственные векторы, надо решить уравнение

(A - λE)b = 0.

Если определитель раскрыть, то получится многочлен степени n относительно λ. Такое уравнение имеет не более n решений. Для каждого решения λ моясно найти соответствующий ему собственный вектор ¯ b.

Задача 26. Найти собственные значения и собственные векторы оператора, заданного матрицей

A= 6 3 Решение. Составим характеристическое уравнение и решим его: A λE /3 6\ λ /1 0\ /3 6\ /λ 0

3-λ 6 6 3-λ

3-λ 6 6 3-λ

= (3 - λ)2 - 62 = 0,

(3-λ-6)(3-λ + 6) = 0, (-3-λ)(9-λ) = 0.

Получили два собственных значения λ1 = -3, λ2 = 9. Теперь для каж;дого λ^ найдем соответствуюш,ий ему собственный вектор.

August 31, 2013 Курбатов В.Г.

44

1. Для λ ₁ = - 3 составим уравнение (A - λE)¯ b = 0:

1 0 0 1

6 6 6 6

Обозначим координаты собственного вектора b1 через {x;y). Для них

6 6 6 6

6x 6x

6y 6y

(A-λ1E)b1 =

Приравнивая к нулю, получим систему уравнений

Прямой ход метода Гаусса

6 6 6 6

0 0

6x

(6 6 I 0 )

приводит к одному уравнению

6y = 0.

Полоясим y = C (т. е. примем y в качестве свободной неизвестной, см. § 2.8). Тогда все решения можно описать формулами x = С, y = C. Таким образом, все собственные векторы описываются формулой b1 = {- ; C) или b1 = C(-1; 1).

Решение однородной системы всегд- строено подобным образом. Поэтому обыч­но ограничиваются нахождением одного собственного вектора, т. е. одного нетриви­ального решения системы (A - λ1E)b = 0. Для этого вместо того, чтобы взять y = C полагают, что y есть некоторое фиксированное ненулевое число. Например, полагают y = 1. Тогда, повторяя предыдущие выкладки, приходят к ответу: b1 = (-1; 1).

2. Для λ ₂ = 9 имеем

A-λE =

3 6 6 3

9

1 0 0 1

-6 6 6 -6

В результате получаем систему уравнений

6x + 6y = 0, 6x - 6y = 0.

C, тогда и

Опять система сводится к одному уравнению 6x - 6y = 0. Полож;им y x = C.В итоге ¯ b2 = C(1;1).

3 и λ2 = 9.

П

Таким образом, матрица A имеет два собственных значения λ ₁ = Им отвечают собственные векторы b1 = (-1;1) и ¯ b ₂ = (1;1)-

Теорема 30. Матрица оператора A в базисе, состоящем из собственных векторов

b1, ¯ b2, • • •; bn диагональна:

λ ₁ 0

0 0

0 .

λ2 .

A

0

0

λn

причем по диагонали стоят собственные значения.