4.3 Размерность и базис

Максимальное число лииейио независимых векторов, которое моясио образовать из элементов линейного пространства X, называют размерностью этого простран­ства и обозначают символом dimX. Иными словами, число n является размерностью пространства X, если в нем имеется n линейно независимых векторов, но любые n + 1 вектор образуют линейно зависимую систему.

Базисом в линейном пространстве X размерности n называют любую систему e¯₁, e ¯2, ..., e ¯ _n из n лииейио независимых векторов.

Теорема 21. Пусть e¯₁, e ¯2, ..., e ¯ _n — базис линейного пространства X. Тогда всякий вектор x линейного пространства X моукно единственным образом представить в виде

x ¯ = α1e¯₁ + α2e ¯2 + + α_ne ¯ _n, (4.2)

т. е. в виде линейной комбинации векторов e¯₁, e ¯2, ..., e ¯ _n.

Формулу (4.2) называют разложением вектора x ¯ по базису e¯₁, e ¯2, ..., e ¯ _n, а числа α1, α2, ..., α_n — коордннатами вектора x ¯ в этом базисе. Ср. с формулой (3.1).

Пример 25. Убедимся, что векторы

e ¯1 = (1;0;0;...;0), e ¯2 = (0;1;0;...;0),

e ¯ _n = (0;0;0;...;1)

образуют базис. Этот базис в Еⁿ называют стандартным или каноническим. Дей­ствительно, для любого вектора x ¯ = (x1,x2,... ,x_n) имеем (ср. с формулой (3.1))

x ¯ = x1e¯₁ + x2e ¯2 + + x_ne ¯ _n.

Рассмотрим систему из n векторов

i = 1,2,

. , n.

Составим матрицу из их координат:

/e11 e12 .

e21 e22 .

en1 en2 .

e1n e2n

n

Такую матрицу называют матрицей системы векторов, а ее определитель — опре­делителем, системы векторов.

Теорема 22. Для того чтобы система из n векторов являлась базисом, необходимо и достаточно, чтобы определитель этой системы был отличен от пуля.

Доказательство. Доказательство вытекает из теоремы 20.

August 31, 2013 Курбатов В.Г.

39

Задача 25. Показать, что векторы a ¯ = (1; 2; 3), ¯ b = (2; -1; 0) и c ¯ = (3; 1; -1) образуют базис.

Решение. Составим определитель системы и вычислим его:

∆ =

1 2 3 2-10 3 1 -1

= 1 + 6 + 9 + 4 = 20.

Поскольку ∆ = 20 = 0, то в силу теоремы 22 векторы ¯ a, ¯ b, c ¯ образуют базис. П

4.4 Скалярное произведение в n-мерном нростран-стве

По аналогии с теоремой 14 введем в М" скалярное произведение двух векторов x ¯ = (x1; x2;...; x„) и y ¯ = (y ₁; y ₂ ; . . .; yп) по правилу

{x ¯, y ¯) = x1y1 + x2y2 + пyп.

Теорема 23. Скалярное произведение обладает свойствами:

{x ¯,y ¯) = {y ¯,x ¯),

{x ¯,y + z) = {x ¯,y ¯) + {x ¯,z),

{αx ¯,y ¯) = α{x ¯,y ¯),

{x ¯,x ¯) > 0,

{x ¯, x ¯) = 0, если x ¯ =0.

Большинство свойств скалярного произведения является следствием только этих 4 свойств. Более того, имеется много других примеров линейных пространств, на которых определено скалярное произведение, для которого эти 4 свойства выполня­ются. Например, множ;ество всех непрерывных на [a, b] функций со скалярным про­изведением (x, y) = _a x(t)y(t)dt. Всякое линейное пространство, на котором задано скалярное произведение, называют евклидовым пространством, а эти 4 свойства — аксиомами скалярного произведения.

Длиной (нормой) вектора x ¯ евклидова пространства называют число

\x

= л/{x ¯,x ¯).

в случае пространства М" это определение приобретает вид

\x\\ = x²₁ + x ²₂ + ' ' ' + x

Косинусом угла между векторами называют число

cos ω =

{x ¯,y ¯)

\x ¯\ ■ \y ¯\

August 31, 2013 Курбатов В.Г. 40