
- •1 Матрицы и определители 3
- •Основные понятия 29
- •Основные понятия 36
- •Глава 1
- •1.1 Матрицы
- •1.2 Операции над матрицами
- •1.3 Определители второго порядка
- •1.4 Определители третьего порядка
- •1.5 Свойства определителей
- •1.6 Символ суммирования
- •1.9 Метод элементарных преобразований вычисления определителя
- •1.10 Ранг матрицы
- •1.11 Метод элементарных преобразований вычисления ранга
- •Глава 2
- •2.1 Основные понятия
- •2.2 Метод Крамера
- •2.4 Метод обратной матрицы
- •2.5 Матричные уравнения
- •2.6 Метод Гаусса
- •2.7 Несовместная система
- •2.8 Неопределенная система
- •2.9 Система линейных однородных уравнений
- •2.10 Понятие о модели Леонтьева
- •Глава 3
- •3.1 Основные понятия
- •3.2 Числовая проекция вектора
- •3.3 Декартова система координат
- •3.4 Скалярное произведение
- •Глава 4
- •4.1 Основные понятия
- •4.2 Линейная независимость
- •4.3 Размерность и базис
- •4.5 Ортогональные векторы
- •Глава 5
- •5.1 Понятие линейного оператора
- •5.2 Матрица линейного оператора
- •5.3 Собственные значения и собственные векторы
- •Глава 6
- •6.1 Определение квадратичной формы, ее матрица
- •6.2 Канонический вид и закон инерции
- •Глава 7
- •7.1 Уравнение линии на плоскости
- •7.2 Уравнение прямой с угловым коэффициентом
- •7.3 Общее уравнение прямой
- •7.4 Уравнение прямой,
- •7.6 Кривые 2-го порядка, их общее уравнение
- •7.7 Выделение полного квадрата
- •7.8 Эллипс
- •7.9 Гипербола
- •7.10 Парабола
- •7.11 Уравнение плоскости
- •7.12 Уравнение прямой
4.3 Размерность и базис
Максимальное число лииейио независимых векторов, которое моясио образовать из элементов линейного пространства X, называют размерностью этого пространства и обозначают символом dimX. Иными словами, число n является размерностью пространства X, если в нем имеется n линейно независимых векторов, но любые n + 1 вектор образуют линейно зависимую систему.
Базисом в линейном пространстве X размерности n называют любую систему e¯1, e ¯2, ..., e ¯ n из n лииейио независимых векторов.
Теорема 21. Пусть e¯1, e ¯2, ..., e ¯ n — базис линейного пространства X. Тогда всякий вектор x линейного пространства X моукно единственным образом представить в виде
x ¯ = α1e¯1 + α2e ¯2 + + αne ¯ n, (4.2)
т. е. в виде линейной комбинации векторов e¯1, e ¯2, ..., e ¯ n.
Формулу (4.2) называют разложением вектора x ¯ по базису e¯1, e ¯2, ..., e ¯ n, а числа α1, α2, ..., αn — коордннатами вектора x ¯ в этом базисе. Ср. с формулой (3.1).
Пример 25. Убедимся, что векторы
e ¯1 = (1;0;0;...;0), e ¯2 = (0;1;0;...;0),
e ¯ n = (0;0;0;...;1)
образуют базис. Этот базис в Еn называют стандартным или каноническим. Действительно, для любого вектора x ¯ = (x1,x2,... ,xn) имеем (ср. с формулой (3.1))
x ¯ = x1e¯1 + x2e ¯2 + + xne ¯ n.
Рассмотрим систему из n векторов
i = 1,2,
. , n.
Составим матрицу из их координат:
/e11 e12 .
e21 e22 .
en1 en2 .
e1n e2n
n
Такую матрицу называют матрицей системы векторов, а ее определитель — определителем, системы векторов.
Теорема 22. Для того чтобы система из n векторов являлась базисом, необходимо и достаточно, чтобы определитель этой системы был отличен от пуля.
Доказательство. Доказательство вытекает из теоремы 20.
August 31, 2013 Курбатов В.Г.
39
Задача 25. Показать, что векторы a ¯ = (1; 2; 3), ¯ b = (2; -1; 0) и c ¯ = (3; 1; -1) образуют базис.
Решение. Составим определитель системы и вычислим его:
∆ =
1 2 3 2-10 3 1 -1
= 1 + 6 + 9 + 4 = 20.
Поскольку ∆ = 20 = 0, то в силу теоремы 22 векторы ¯ a, ¯ b, c ¯ образуют базис. П
4.4 Скалярное произведение в n-мерном нростран-стве
По аналогии с теоремой 14 введем в М" скалярное произведение двух векторов x ¯ = (x1; x2;...; x„) и y ¯ = (y 1; y 2 ; . . .; yп) по правилу
{x ¯, y ¯) = x1y1 + x2y2 + пyп.
Теорема 23. Скалярное произведение обладает свойствами:
{x ¯,y ¯) = {y ¯,x ¯),
{x ¯,y + z) = {x ¯,y ¯) + {x ¯,z),
{αx ¯,y ¯) = α{x ¯,y ¯),
{x ¯,x ¯) > 0,
{x ¯, x ¯) = 0, если x ¯ =0.
Большинство свойств скалярного произведения является следствием только этих 4 свойств. Более того, имеется много других примеров линейных пространств, на которых определено скалярное произведение, для которого эти 4 свойства выполняются. Например, множ;ество всех непрерывных на [a, b] функций со скалярным произведением (x, y) = a x(t)y(t)dt. Всякое линейное пространство, на котором задано скалярное произведение, называют евклидовым пространством, а эти 4 свойства — аксиомами скалярного произведения.
Длиной (нормой) вектора x ¯ евклидова пространства называют число
\x
= л/{x ¯,x ¯).
в случае пространства М" это определение приобретает вид
\x\\ = x21 + x 22 + ' ' ' + x
Косинусом угла между векторами называют число
cos ω =
{x ¯,y ¯)
\x ¯\ ■ \y ¯\
August 31, 2013 Курбатов В.Г. 40