Уравнение траектории пассивного участка .

Используем два полученных интеграла для вывода уравнений траектории пассивного участка .

Если точка движется в декартовой системе координат ОXY , то траектория имеет вид :

Y=f(x) , а в полярной системе координат : r =f(λ)

З апишем уравнение энергии

Запишем момент количества движения

Имеется несколько неизвестных величин : r , t , λ .

Чтобы получить уравнение траектории нужно избавиться от величины t .

- дифференциальное уравнение траектории пассивного участка .

Выбор знака “ ± “ зависит от выбора направления отсчета угла λ .

Если угол λ отсчитывается по часовой стрелке , то ставится знак “ - “ и наоборот . Так на рис.36 угол λ по часовой стрелке , следовательно при расчете нужно ставить знак “ – “ .

Чтобы решить это уравнение нужно ввести новую переменную :

Тогда получим :

`

Подставим в это уравнение

Уравнение с разделенными переменными

т.к. λ – это угол , то и С₁ тоже угол . Обозначим φ=С₁ .

Избавимся от arcsin и от дроби :

Извлечем из под радикала выражение: и поделим знаменатель на эту величину.

- эксцентриситет траектории ;

Можно выбрать такое начальное положение плоскости n-n чтобы

- уравнение траектории полета ракеты на пассивном участке.

С точки зрения математики это уравнение которое образуется при пересечении конуса плоскостью (уравнение кривой).

Уравнение эллиптического участка траектории . Частные случаи .

Рассмотрим несколько случаев :

1. Плоскость перпендикулярна оси конуса .

В сечении будет окружность , следовательно точка движется по окружности .

Необходимая скорость , которую должна получить ракета в точке А , чтобы она могла двигаться по орбите вокруг Земли , эту скорость принято называть первой космической скоростью.

.

2. 

Это уравнение эллипса или эллиптическая траектория . В этом случае С<0 . Для этого случая запишем уравнение энергии :

- необходимое условие для получения эллипса .

- траектория эллипса .

Случаи :

• - эллиптическая траектория ракеты класса “Земля – Земля” (рис.39) .

• - это орбитальный эллипс и его вытянутость зависит от величины скорости в точке А (рис.40) .

3. 

Уравнение энергии

- вторая космическая скорость .

Приближенно можно считать , что V_Ik≈8 км/с , а V_IIk≈11.2 км/с .

4. - это траектория гиперболы при С>0 .

- гиперболическая скорость (третья космическая скорость) .

Время полета ракеты на эллиптической траектории .

Уравнение траектории движения ракеты на эллиптическом участке

Запишем уравнение для момента количества движения точки единичной массы :

Проинтегрируем

- время полета ракеты на эллиптическом участке траектории .

Добавляем “2” и интегрируем до π потому , что берем только половину траектории .

Это уравнение можно решить аналитическим методом или методом численного интегрирования .

Расчет участка снижения .

Допущения в расчетах :

• масса спускаемого аппарата постоянна m_СА=сonst ;

• п ренебрегаем кривизной Земли и рассматриваем движение в прямоугольных координатах ;

• ускорение свободного падения постоянно g=g_o=const ;

• угол атаки равен нулю α=0 , следовательно и подъемная сила равна нулю .

При расчете пассивного участка траектории мы должны получить дальность полета , время , коэффициенты перегрузок (продольные) .

y_c=y_a – высота

Θ_с=-Θ_а

V_c=V_a

X_c=0 ( X_c=X_a+L_эл )

Уравнение движения ракеты будет :

Эта система решается любым численным методом .