4. Основные числовые характеристики непрерывной случайной величины
Под основными числовыми характеристиками непрерывной случайной величины понимают, как и в случае дискретной случайной величины, математическое ожидание, дисперсию и среднее квадратическое отклонение. Математическим ожиданием непрерывной случайной величины X, возможные значения которой принадлежит всей оси Ox называют несобственный интеграл. M(X)= μ= ∫x f(x)dx дисперсией непрерывной случайной величины возмодные значения которой принадлежит всей оси Ox называют несобственный интеграл. D(X)= σ 2 =∫(x- μ )2 f(x)dx
Среднее квадратическое отклонение, как и для дискретной случайной величины, определяется формулой:
σ= √D(X) 5. Дискретной случайной величиной (ДСВ) называют такую величину, множество значений которой либо конечное, либо бесконечное, но счетное.
Непрерывной случайной величиной (НСВ) называют случайную величину, которая может принимать все значения из некоторого конечного или бесконечного промежутка. Множество возможных значений непрерывной случайной величины бесконечно и несчетно. распределение Бернулли представим, ято в отношении некотором случайном событии А производят n независимых испытаний, при условии что в каждом испытании p появление этого события постоянно. Будем учитывать только 2 исхода: появление события А либо противоположное ему событие А тоже имеющего постоянную вероятность q. Причем p+q=1 при этих условиях если событие А в n испытаниях появится m раз то события противоположные А (n-m) раз P(m)=C*P(1-p) в степени n-m формула бернулли
6. Распределение Пуассона. когда вероятность события очень мала и исчисляется сотыми и тысячными долями единицы, распределение частот таких редких событий в n независимых испытаниях становится крайне ассиметричным. Для такого рода распределения и служит формула пуассона. P(m)=a(в степени m)/m!*e(в степени -а) а=n*p наивероятнейшая частота ожидаемого события. M частота ожидаемого события в n независимых испытаниях. Дискретной (прерывной) называют случайную величину, которая принимает отдельные, изолированные возможные значения с определенными вероятностями. Число возможных значений дискретной случайной величины может быть конечным или бесконечным. Дадим более точное определение
Дискретной случайной величиной (ДСВ) называют такую величину, множество значений которой либо конечное, либо бесконечное, но счетное.
Непрерывной случайной величиной (НСВ) называют случайную величину, которая может принимать все значения из некоторого конечного или бесконечного промежутка. Множество возможных значений непрерывной случайной величины бесконечно и несчетно. 7. Непрерывные и дискретные случайные величины. Плотность вероятности. Нормальный закон распределения. Математическое ожидание и дисперсия. Графическое представление. Примеры.
Дискретные случайные величины – величины, которые могут принимать счетное количество значений конечное или бесконечное. пример: количество пассажиров в транспорте.
Непрерывные случайные величины- величины. Которые принимают бесконечное число возможных значений в конечном, или в бесконечном интервалах изменения пример: время, масса, объем, температура тела.
Плотностью вероятности f(x) непрерывной случайной величины Х называется производная функции распределения F(X) этой величины: f(x)=F’(X)
Основные
свойства плотности:
1). Плотность
вероятности является неотрицательной
функцией: f(x)>0
2)
вероятность того, что в результате
испытания непрерыв. Случ. Величина
примет какое-либо значение из
интервала(а,b),
равна определенному интегралу(в пределах
от а до b
) от плотности вероятности этой случайной
величины.
3
).определенный
интеграл в пределах от минус бесконечности
до плюс бесконечности от плоности
вероятности непрерывной случайной
величины равен единице..
4)определенный интеграл в пределах от «–« бесконечности до х от плотности вероятности непрерывной случайной величины равен функции распределения этой величины.
Нормальное распределение, также называемое распределением Гаусса — распределение вероятностей, которое задается функцией плотности распределения:
где параметр μ — среднее значение (математическое ожидание) случайной величины и указывает координату максимума кривой плотности распределения, а σ² — дисперсия.
Графики нормального распределения
Математическим
ожиданием
Диспе́рсия случа́йной величины́ — мера разброса данной случайной величины, то есть её отклонения от математического ожидания. Пусть
где символ M обозначает математическое ожидание. 8. Нормальное распределение, также называемое распределением Гаусса — распределение вероятностей, которое задается функцией плотности распределения:
где параметр μ — среднее значение (математическое ожидание) случайной величины и указывает координату максимума кривой плотности распределения, а σ² — дисперсия. Доверительный интервал — это интервал, построенный с помощью случайной выборки из распределения с неизвестным
параметром, такой, что он содержит
данный параметр с заданной
вероятностью
Интервал
вероятность
-либо однородных элементов, которые предстоит изучить статистическими методами; множество всех значений случайной величины. Выборка – это некоторая часть элементов, выделяемая по определенному правилу из ген. совокупности. Объём выборки – это число выделяемых элементов в генеральной совокупности. Минимальным, статистическим допустимым объёмом выборки, считается три элемента. Выборка производится с целью описания генеральной совокупности. Если это описание является полным и корректным, то выборка является репрезентативной. В ходе нескольких повторных измерений физической величины получают набор результатов, являющийся выборкой объёма n:х1, х2,…..,хn, где n-число повторных измерений. Как дискретные, так и непрерывные, случайные величины могут быть получены в результате опыта – наблюдения – то есть в виде вариационнго ряда: 4,67; 5,49; К выборочным характеристикам отнтсятся среднее значение (Хср), как оценка математического ожидания, выборочное среднеквадратическое отклонение (Sx), как оценка генерального значения среднеквадратического отклонения (σ) выборочная дисперсия (Sx2) N- число элементов выборки 10.Оценка параметров генеральной совокупности Пусть выборка объема n представлена в виде вариационного ряда. Назовем выборочной средней величину
Если значения признака, полученные из выборки не группировать и не представлять в виде вариационного ряда, то для вычисления выборочной средней
нужно по формулой. Естественно
считать величину
выборочной оценкой параметра M. Выборочная оценка параметра, представляющая собой число, называется точечной оценкой. Выборочную дисперсию можно считать точечной оценкой дисперсии D генеральной
совокупности.
Выборочный коэффициент корреляции рассчитывается по формуле Медиа́на возможное значение признака, которое делит ранжированную совокупность (вариационный ряд выборки) на две равные части: 50 % «нижних» единиц ряда данных будут иметь значение признака не больше, чем медиана, а «верхние» 50 % — значения признака не меньше, чем медиана. Для наглядности строят различные графики статистического распределения, в частности , полигон и гистограмму. Полигоном частот называют ломаную линию, отрезки которой
Соединяют
точки.
Гистограммой частот называют
ступенчатую фигуру, состоящую из
прямоугольников, основаниями которой
служат частичные интервалы длиною
h, а высоты равны отношению
выборки.
Косвенных измерений – измерения пересчетом других величин, значения которых получены в результате прямых измерений. Случайные и систематические погрешности. Обработка результатов прямых измерений. Запись окончательного результата Говоря о погрешностях измерений, следует, прежде всего, упомянуть о грубых погрешностях (промах), возникающих вследствие недосмотра экспериментатора или неисправности аппаратуры. Такие погрешности происходят, если, например, экспериментатор неправильно прочтет номер деления на шкале, если в электрической цепи произойдет замыкание и вследствие других подобных причин. Грубых погрешностей следует избегать. Если установлено, что они имеют место, соответствующие измерения нужно отбрасывать. Не связанные с вышеупомянутыми погрешности эксперимента делятся на случайные и систематические. Многократно повторяя одни и те же измерения, можно заметить, что довольно часто их результаты не в точности равны друг другу, а "пляшут" вокруг некоторого среднего. В подобных случаях мы имеем дело со случайными погрешностями. |
дискретной
случайной величины
называется
сумма парных произведений всех
возможных значений случайной величины
на соответствующие им вероятности,
т.е. *
—
случайная величина, определённая на
некотором вероятностном
пространстве.
Тогда
называется
доверительным
интервалом для параметра
,
а
-
доверительной
вероятностью
9.
Генеральная совокупность
– множество каких
льзоваться
11.Графические
характеристики случайных величин
.
Модой случайной величины называется
её наиболее вероятное значение. Термин
«наиболее вероятное значение», строго
говоря, применим только к прерывным
величинам; для непрерывной величины
модой является то значение, в котором
плотность вероятности аксимальна.
выборочной средней
называется
среднее арифметическое
12.
Измерения делятся на прямые и косвенные.
Прямые измерения проводят с помощью
приборов, которые измеряют саму
исследуемую величину.