1. Случайные события

Пусть некоторый эксперимент, или, согласно терминологии, ис­пользуемой в теории вероятностей, испытание, может быть, по крайней мере теоретически, проведено в одних и тех же условиях неограниченное количество раз. Результатом каждого испытания является тот или иной его исход, называемый событием. Иными словами, случайное событие - это такое событие, которое в результате испытания может произойти, а может и не произойти. Случайные события принято обозначать большими буквами латинского алфавита.

Определение. Случайные события А₁, А₂, ..., А_п называются несовместными, если осуществление любого из них в результате испытания исключает осуществление при этом других перечис­ленных событий.

Определение. Случайные события А₁, А₂, ..., А_п называются совместными, если осуществление любого из них в результате испытания не исключает осуществления при этом других из пе­речисленных событий.

Классическое определение вероятности случайного события

Под вероятностью случайного события в математике понимают меру возможности осуществления данного события в конкретных условиях эксперимента (испытания).

Определение. Вероятностью Р(А) случайного события А назы­вается отношение количества т элементарных событий, благо­приятствующих событию А, к общему количеству элементарных событий п: Р(А)=m/n

Поскольку в общем случае 0≤т≤п, то из этого определения, называемого классическим определением вероятности случайно­го события, следует, что вероятность произвольного случайного события принадлежит отрезку [0,1], т.е. 0≤Р(A) ≤1

Статистическая вероятность события. допустим что имеется возможность неограниченного повторения испытание, в кадом из которых отмечается событие А. при достаточно большом числе n испытаний наше событие А произошло m раз. Отношение P(A)=m/n это отношение называется относительноц частотой события А. частоту события называют статистической вероятностью.

2. Теоремы сложения и умножения вероятностей случайных событий

Если случайные события А и В являются несовместными собы­тиями с известными вероятностями, то справедлива следующая теорема, называемая теоремой сложения.

Теорема 8.1. Вероятность наступления случайного события А или несовместного с ним события В равна сумме вероят­ностей этих событий:

Р(А или В) = Р(А) + Р(В)

Определение. Случайное событие Л, состоящее в том, что случайное событие А не произошло, называется событием, про­тивоположным событию А.

Для противоположных событий справедлива следующая тео­рема.

Теорема 8.2. Сумма вероятностей наступления случайного события А и противоположного ему события А равна единице: P(A)+P(Ā)=1 условная вероятность.

Определение. Случайные события А и В называются незави­симыми, если вероятность осуществления каждого из них не зависит от того, осуществилось ли при этом другое событие.

Теорема 8.3. Вероятность наступления двух независимых случайных событий А и В равна произведению вероятностей этих событий: Р(А и В) = P(A)*P(B)

Определение. Случайное событие В называется зависимым от случайного события А, если вероятность осуществления события В зависит от того, произошло ли событие А.

Определение. Вероятность осуществления случайного события В, вычисленная при условии наступления события А, называется условной вероятностью события В и обозначается Р(В/А).

Теорема 8.4. Вероятность наступления случайного события А и зависящего от него события В равна произведению вероят­ности события А на условную вероятность события В: Р(А и В) = Р(А) * Р(В/А) 3.Случайные величины

Определение. Числовая функция X значения которой отнесены к каждому из событий А принадлежит гамма называется случайной величиной. X=X(A)

Понятие дискретных и непрерывных случайных величин

Определение. Случайная величина называется дискретной, если совокупность всех ее возможных значений представляет собой конечное или бесконечное, но обязательно счетное множество значений, т. е. такое множество, все элементы которого могут быть (по крайней мере теоретически) пронумерованы и выписаны в соответствующей последовательности.

Основные числовые характеристики дискретной случайной величины

Определение. Математическим ожиданием М(Х) (часто ис­пользуется также обозначение «ц») дискретной случайной ве­личины X называется сумма произведений каждого из всех ее возможных значений на соответствующие вероятности: М(Х)= μ= ∑x_ip_i= x₁p₁+x₂p₂+…x_np_n

где индекс г принимает значения 1, 2, 3, ..., п.

Основной смысл математического ожидания дискретной слу­чайной величины состоит в том, что оно представляет собой среднее значение данной

Определение. Дисперсией D(Х) (часто используется также обо­значение «σ²») дискретной случайной величины называется ма­тематическое ожидание квадрата отклонения этой величины от ее математического ожидания:

D(Х) = σ ² =М((Х- μ)²).

Следует, однако, отметить, что на практике дисперсию часто удобнее вычислять по формуле D(Х) = σ ² =М( X²)-μ²

Определение. Средним квадратическим отклонением диск­ретной случайной величины называется квадратный корень из ее дисперсии: σ(X)= √D(X)