Рассмотрим лах инерционного звена. Имеем

A() = ; . (2.4.24)

Левее частоты сопряжения ₀, т.е. в случае   ₀, пренебрежем под знаком ра­дикала величиной ² по сравнению с ₀². Тогда

L()  20lg(k). (2.4.25)

Следовательно, левее ₀ асимптотическая ЛАХ представляет собой гори­зонтальную прямую на высоте 20lg(k). Если k = 1, то эта прямая совпадает с осью частот.

Правее частоты сопряжения ₀, где   ₀, аналогично получим

L()  20lg(k) - 20lg, (2.4.26)

т.е. прямую с наклоном –20 дБ/дек, так как по оси абсцисс откладывается lg.

В точке ₀ имеем погрешность замены точной (реальной) характеристики на асимптотическую, равную

.

Так как

L_точ( ₀)=L_приб( ₀)+L( ₀),

то реальная характеристика в точке ₀ расположена ниже асимптотической на 3дБ. На практике погрешность в 3дБ считается небольшой и не учитывается.

Частотные характеристики типовых звеньев

Переходя от передаточной функции звена к частотной передаточной функции (по Фурье, ) с помощью операций над комплексными числами, можно найти различные частотные характеристики типовых звеньев.

В частности, в случае инерционного звена имеем:

; ; ;

; .

Выражения для и представляют собой уравнение амплитудно-фазовой характеристики в параметрической форме в функции действительного параметра . Изменяя от , построим АФХ. Если из параметрических уравнений исключить , то получим уравнение АФХ в явном виде. Для этого разделим второе уравнение на первое и найдем . Подставим это значение в первое уравнение .

Приводя к общему знаменателю, преобразуем уравнение к виду

.

Дополним до полного квадрата, прибавив слева и справа .

Тогда получим . (2.4.36)

Это уравнение окружности радиуса с центром в точке , как показано на рис.2.4.11. При построении АФХ по (2.4.36) не ясно, какой частоте соответствуют точки АФХ. Поэтому следует обратиться к уравнениям в параметрической форме.

З начения и в зависимости от , найденные по параметрическим уравнениям, приведены в табл.2.4.5. Очевидно, что является четной функцией, а - нечетной, т.е. ; .

Следовательно, как и в общем случае, АФХ для является зеркальным отражением АФХ для относительно действительной оси. В случае изменения от 0 точка пробегает по верхней ветви, характеристики, а в случае изменения от - по нижней ветви характеристики.

Таблица 2.4.5.

Точки АФХ инерционного звена, полученные по параметрическим уравнениям

	0	…		…
		…		…	0
	0	…		…	0

Логарифмические характеристики инерционного звена рассмотрены в п.2.4.3.

В случае интегрирующего звена имеем

; ; , ; ; .

Т ак как , то АФХ совпадает с осью ординат (мнимой осью), как показано на рис.2.4.12. В случае изменения от 0 точка пробегает по оси от . В случае изменения от точка пробегает по оси от 0.

Для фиксированной частоты имеем , .

В случае инерционного звена при непрерывном изменении от имели плавное изменение АФХ без разрывов, как изображено на рис.2.4.11. В случае интегрирующего звена при переходе через 0 АФХ разрывается. При имеем , а при имеем . Возникает неопределенность, где на бесконечности замыкаются ветви АФХ, соответствующие и - слева или справа на рис.2.4.12.

Для раскрытия неопределенности рассмотрим звено с передаточной функцией , (2.4.37)

т.е. инерционное звено с коэффициентом усиления и постоянной времени . АФХ этого инерционного звена изображена на рис 2.4.11. Если , то инерционное звено (2.4.37) превращается в интегрирующее с передаточной функцией . Очевидно, что в случае радиус окружности стремится к бесконечности, т.е. АФХ “прижимается” к мнимой оси . При этом замыкание ветвей АФХ для и происходит на бесконечности справа (по дуге бесконечно большого радиуса).

Таким образом, если нулевой полюс (корень характеристического уравнения) интегрирующего звена сдвинуть влево (из нулевого превратить чуть-чуть в отрицательный), то интегрирующее звено превратится в инерционное, а АФХ при замкнется на бесконечности справа.

Логарифмические характеристики интегрирующего звена

; .

Так как по оси частоты на логарифмических характеристиках откладывается , то первое уравнение представляет собой прямую линию с наклоном . Если , то . Если , то ЛАХ при пересекает ось частот. Фазовый сдвиг на всех частотах одинаковый и равен на всех положительных частотах.

Логарифмические характеристики колебательного звена рассмотрены в п.2.4.3.

Как было установлено ранее (см.п.2.4.3), для обратных характеристик ; . Соответственно . Следовательно, обратные логарифмические характеристики являются зеркальным отображением прямых относительно оси частот.

В частности, в случае дифференцирующего звена с единичным коэффициентом усиления ЛАХ является прямой с наклоном , проходящей через ось частот при . Передаточные функции и логарифмические характеристики прямых и обратных звеньев с единичным коэффициентом усиления приведены в табл.2.4.6.

Логарифмические характеристики звеньев Таблица 2.4.6

№ п/п	Название звена		ЛАХ, ЛФХ
1	Идеальное интегрирующее
2	Инерционное
3	Колебательное
4	Идеальное дифференцирующее
5	Форсирующее
6	Обратное колебательному

Из табл.2.4.6 следует:

1. Наклон и соответственно сдвиг по фазе на низких частотах могут дать только интегрирующие или дифференцирующие звенья. Если, например, в передаточной функции имеется r интегрирующих звеньев, то наклон ЛАХ на низких частотах равен , а сдвиг по фазе соответственно .

2. n корням знаменателя (полюсам передаточной функции), т.е. степени знаменателя n, соответствует наклон ЛАХ на верхних частотах, равный , и в случае минимально фазовой системы - соответственно сдвиг по фазе на высоких частотах, равных .

3. корням числителя (нулям передаточной функции) на высоких частотах аналогично соответствуют наклон ЛАХ, равный , и сдвиг по фазе .

4. В случае передаточной функции минимально-фазовой системы с n полюсами и n₁ нулями наклон ЛАХ на высоких частотах равен , а сдвиг по фазе равен градусов.