3. По формуле обращения (обратного преобразования Фурье) находим реакцию . (2.4.21)

На практике для аналитически заданных x(t) и W(j) операции (2.4.19) и (2.4.21) выполняются с помощью таблиц соответствия между оригиналами и изображениями. Если нет аналитических выражений или они сложны, то при­бегают к численным методам интегрирования (2.4.19), (2.4.21) с помощью ЭВМ.

Функция веса представляет собой (по определению) реакцию на -функцию. Следовательно, функция веса – это некоторый сигнал, а частотная передаточное функция – это изображение по Фурье этого сигнала. Поэтому одинаково, как по (2.4.21), так и по (2.4.30) можно объяснить смысл отрицатель­ных частот, трактуя сиг­нал - действительную функцию действительного аргу­мента t как сумму комплексных величин (гармоник) – элементарных векторов , вращающихся с круговой частотой на комплексной плоско­сти. Для получения в результате суммиро­вания действительного числа нужно, чтобы каждому элементарному вектору, вращающемуся против часовой стрелки ( > 0), соответствовал элементарный вектор, вращающийся в противопо­ложном направлении ( < 0) . Тогда cyммa таких элементарных векторов по правилу параллело­грамма будет давать элементарный вектор, направленный вдоль вещественной оси, т.е. дей­ствительное чис­ло. Суммируя эти элементарные векторы, получим результирующий вектор, направленный по вещественной оси, т.е. действительный сигнал. Это иллюстрирует рис. 2.4.9.

С ледовательно, отрицательные час­тоты представляют собой ма­тематическую абстракцию. Физически их не суще­ствует. В резуль­тате изме­рения энергии сигнала в полосе частот от до , т.е. на выходе полосового фильтра с полосой пропускания ( , ), мы полу­чим величину, вдвое боль­шую по сравнению с теоре­тической величиной. Т.е. результат физического из­мерения надо разделить на два для абстрагирования к отрицательным частотам.

Заметим, что все реальные системы инерционны, т.е. имеют ограниченную полосу пропускания и

W(j ) 0 при . (2.4.31)

Отсюда вытекает, что степень числителя передаточной функции (2.2.15) или (2.4.13) меньше степени знаменателя, т.е. m < n. Соответственно h(0) = 0.

Виды частотных характеристик.

Характер преобразования входного сигнала звеном или системой опреде­ляется частотной передаточной функцией или соответствующими ей частот­ными характеристиками. Виды частотных характеристик тесно связаны с фор­мами записи комплексных чисел, поскольку для частотная передаточ­ная функция является комплексным числом.

Перечислим теперь основные частотные характеристики (рис.2.4.3-2.4.6).

1. Амплитудно-фазовая характеристика (АФХ) – зависимость W(j) на ком­плексной плоскости при изменении  от от - до + (Рис. 2.4.3). Так как W_х() = W_х(-) – четная функция, а W_у() = W_у(-) – нечетная функция, то АФХ для  < 0 симметрична относительно вещественной оси характеристике для >0 и ее обычно не изображают.

2. Вещественная W_х() и мнимая W_у() частотные характеристики (рис. 2.4.4) – зависимости вещественной и мнимой части от частоты. Имея в виду четность вещественной характеристики и нечетность мнимой, их для  < 0 обычно не изображают. Четность W_х() и нечетность W_у() вытекают из правила (2.4.22) их выделения из W(j), так как в знаменателе четная функция, а в числителе j в четной степени – действительное число (отходит к W_х()), а в нечетной –мнимое (отходит к W_y()).

3. Амплитудная (АЧХ) и фазовая (ФЧХ) частотные характеристики – зависимости А() и () от частоты (рис.2.4.5). В силу четности А() и нечетности (), их для  < 0 обычно не изображают. Амплитудная частотная характеристика определяет инерционность (пропускную способность) звена или системы. Фазовая частотная характеристика определяет величину фазового сдвига на соответствующей круговой частоте.

4. Обратная частотная характеристика W^-1(j) = 1/ W(j). Определяя амплитуду и аргумент (фазу) для дроби по правилу (2.4.6), найдем

. (2.4.22)

Из связи между формами записи комплексных чисел вытекает, что по АФХ можно построить W_х(), W_у() или А(), (), а также W^-1(j) и наоборот. На рис.2.4.6 изображена обратная для характеристики на рис.2.4.3 характеристика. На рисунке построена окружность единичного радиуса. В соответствии с правилом (2.4.22) точки, соответствующие А() > 1, лежат внутри круга единичного радиуса. Точка А() = 1 остается на окружности, но фаза меняется на противоположную (на 180).

Заметим, что реальные (физически реализуемые) звенья и системы имеют ограниченную полосу пропускания, т. е. А() 0 при   0 или W(j)  0 при   . Для выполнения этого условия в (2.4.13) должны иметь n > m, т. е. степень знаменателя передаточной функции должна быть больше степени чис­лителя.

Тем не менее, рассматриваются звенья, для которых условие физической осуществимости не выполняется. Это правомерно в определенном диапазоне частот. Если спектр сигнала на входе звена выходит за пределы этого диапазона, то возникнут искажения в реакции, не предусмотренные передаточной функцией звена.

5. Логарифмические частотные характеристики.

Наиболее широкое применение нашли логарифмические характеристики. Для их объяснения представим частотную передаточную функцию в показа­тельной форме и возьмем натуральный логарифм от :

.

Он равен комплексному выражению; вещественная его часть является лога­рифмом от модуля, а мнимая – фазой.

Вещественная часть логарифма представляет собой логарифмическую ам­плитудную характеристику, а мнимая часть – фазовую.

На практике берется десятичный логарифм, так что логарифмические ам­плитудная (ЛАХ) и фазовая (ЛФХ) характеристики определяются выраже­ниями: (2.4.23)

По оси абсцисс на графиках откладывается частота в логариф­мическом масштабе, т.е. lg . Однако желательно делать оцифров­ку непосредственно в значениях круговой частоты , а для разметки можно воспользоваться табл.2.4.1.

Значения Таблица 2.4.1

	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
lg	0	0.301	0.477	0.602	0.699	0.778	0.845	0.903	0.954	1

Амплитуда измеряется в децибелах, фаза – в градусах. Для разметки оси абсцисс непосредственно в значениях  (рад/с) можно воспользоваться любой из трех шкал (основной, квадратичной и кубической) логарифмической ли­нейки (рис.2.4.7).

Если взять за декаду D мм, то, например, 0.301 дек (соответствует = 2 рад/с) составит 0.301D мм, 1.301 дек (соответствует 20 рад/с) составит D+0.301D мм и т.д. Таким образом, точки с оцифровкой в пределах от 1 до 10 сме­щаем вправо на декаду и оцифровываем от 10 до 100 и т.д. (рис.2.4.7), смещаем влево от исходного положения на одну декаду и оцифровываем от 0.1 до 1 и т.д.

Если ₂ /₁ = 10, то расстояние между частотами равно одной декаде (lg10=1), если ₂ /₁ = 2, то расстояние равно одной октаве.

Так как lg( = 0) = -, то точка  = 0 находится на бесконечности слева. Поэтому ось ординат проводят в любом месте с таким расчетом, чтобы на гра­фик попал интересующий диапазон частот. Так как 20lg1 = 0, то L() > 0, если А()>1 и L() < 0, если А( ) < 1. Если А() 0, то L() -.