Лекция №8

Частотный анализ систем автоматического управления

Предварительно рассмотрим комплексные числа и основные операции над ними. Существует три формы записи комплексного числа

1. Обычная форма W = W_x+ j W_y, j = - мнимая единица. (2.4.1)

2. Тригонометрическая форма W = A(cos + j sin). (2.4.2)

3. Показательная форма W = A e^j.. (2.4.3)

К омплексное число представляет собой точку на комплексной плоскости с действительной и мнимой частями W_x, W_y. Точке соответствует вектор с длиной (модулем) А и аргументом (фазой)  (рис. 2.4.1). На рис.2.4.1 на осях последо­вательно перечислены встречающиеся в сочетании типовые обозначения веще­ственной и мнимой осей.

Положительное направление отсчета углов – против часовой стрелки. Из (2.4.1) – (2.4.3) и рис. 2.4.1 вытекают соотношения:

W_x = Acos; ; W_y = Asin; . (2.4.4)

Пусть W₁ = A₁e^j1 и W₂ = A₂e^j2.

Тогда _; (2.4.5)

, (2.4.6)

т. е. при перемножении комплексных чисел их модули перемножаются, а аргу­менты складываются. В случае деления комплексных чисел их модули делятся, а аргументы вычитаются.

Заметим также, что произведение комплексно-сопряженных чисел дает квадрат модуля, т.е. WW^*=( W_x + j W_y ) ( W_x – j W_y )=W_x² + W_y² = A². (2.4.7)

Если имеем дробь , (2.4.8)

то для определения вещественной и мнимой частей надо умножить числитель и знаменатель (2.4.8) на число, комплексно-сопряженное знаменателю (т.е. на ). В результате получим

, (2.4.9)

где . (2.4.10)

Заметим, что не содержит мнимой единицы, имеющейся в записи (2.4.9). Если нужно найти модуль и аргумент дроби (2.4.8), то следует воспользо­ваться правилом (2.4.6), а не искать и по (2.4.9) с последующим нахож­дением модуля и аргумента по (2.4.10).

Разложение на элементарные множители позволяет избежать ошибки оп­ределения аргумента без анализа, какой четверти принадлежит точка (ком­плексное число). Это иллюстрирует рис.2.4.2, на котором два вектора направ­лены противоположно и расположены в I и III четвертях, так что их аргументы и отличаются на . В то же время формально по формуле из (2.4.4) получим одну и ту же величину, равную . Имеем = + . Следова­тельно, формула (2.4.4) работает в I четверти. Если находить аргумент как сумму или разность аргументов векторов типа с и , то не ну­жен анализ, и результат получится без ошибки. Это особенно существенно, если аргумент больше, чем и анализ четверти, в которой расположен вектор, не приведет к успеху.

Частотную передаточную функцию, или комплексный коэффициент уси­ления W(j ), можно ввести двумя способами:

1. Путем нахождения реакции на синусоидальный (гармонический сигнал).

2. С помощью преобразования Фурье.

Начнем с первого способа и найдем реакцию системы (2.2.1) на гармониче­ский сигнал, который представим в показательной форме

, (2.4.11)

где Х_m и - амплитуда и круговая частота.

Так как в линейной системе отсутствуют нелинейные искажения, то в ус­тановившемся режиме на выходе также будет гармонический сигнал той же частоты , в общем случае с другими амплитудой и фазой, т.е.

. (2.4.12)

Для определения амплитуды и фазы подставим выражения сигна­лов (2.4.11), (2.4.12) и их производных в дифференциальное уравнение и после со­кращения на е^{j t} 0 и элементарных преобразова­ний получим тождество

. (2.4.13)

Отсюда (2.4.14)

Эти соотношения можно рассматривать как определение час­тотной пере­даточной функции. В них заключается физический смысл частотной переда­точной функции и из них вытекает способ её эк­спериментального нахождения путем измерения амплитуд гармоничес­ких сигналов на входе и выходе и сдвига по фазе между ними для одной и той же частоты.

В случае второго способа определения частотной передаточной функции сравним (2.4.13) и (2.2.15). Из сравнения следует, что час­тотная передаточная функция является частным случаем передаточ­ной функции по Лапласу

при р = j , т.е.

. (2.4.15)

Так как передаточная функция по Лапласу применима к сигналам произвольной (любой) формы, то и частотная передаточная функция применима для нахождения ре­акции на сигнал произвольной формы, а не обязательно гармонический. Из (2.4.5) для Фурье-изображения реакции имеем

. (2.4.16)

Сама реакция, то есть оригинал, находится по формуле обращения

. (2.4.17)

Формула обращения позволяет трактовать сигнал как сумму элемен­тарных гармонических составляющих вида

, (2.4.18)

причем в соответствии с (2.4.18) и первым определением частотной передаточ­ной функции элементарная выходная гармоника равна про­изведению элемен­тарной входной гармоники на частотную передаточ­ную функцию при данной частоте.

Таким образом, из второго определения частотной передаточной функции вытекает частотный метод (метод преобразования Фурье) нахождения реак­ции:

1. Для заданного входного сигнала находим изображение по Фурье

. (2.4.19)

2. Находим Фурье-изображение реакции, используя (2.4.16)

Y(j) = X(j)W(j). (2.4.20)