2.3 Конструирование алгоритма решения задачи

Hа основе приведенных в предыдущем пункте соотношений можно использовать следующий алгоритм:

Шаг 1. В платежной матрице А = ||a_ij|| находятся нижняя цена α и верх­няя цена β игры. Если они равны между собой, то игра имеет седловую точку, и, следовательно, существует решение игры в чистых стратегиях. Если игра не име­ет седло вой точки, то переход к шагу 2.

Шаг 2. Игра решается в смешанных стратегиях. Если в матрице игры имеются отрицательные элементы, то ко всем элементам матрицы А добавляется некоторое чисто μ для того, чтобы все элементы платежной матрицы стали поло­жительными.

Шаг 3. Для преобразованной матрицы А формируются две задачи ли­нейного программирования.

Шаг 4. Одним из методов линейного программирования производится решение полученных задач. В данной работе используется двойственный симплекс-метод, который описан ниже.

Шаг 5. По найденным решениям и

задач линейного программирования определяются цена игры ν и вероятности р_i и q_j , . Если к исходной платежной матрице добавлялось число μ, то вычисляется истинная цена игры, которая равна полу­ченной цене игры минус добавляемое число μ.

Двойственный симплекс-метод

Двойственный симплексный метод предназначен для решения задачи линейной оптимизации вида

Пусть выполнены следующие условия:

1. задача ЛП имеет стандартный вид на минимум;

2. вектор коэффициентов целевой функции (c) неотрицателен.

Тогда можно построить начальную симплексную таблицу (табл. 2.1):

Таблица 2.1 – Начальная симплекс-таблица

Базис	БДР	x1	x2	…	xn	y1	y2	…	ym
y	-b	-A				E
z	0	1	2	…	n	n+1	n+2	…	n+m

Оценки ∆_j для переменных x_j будут, очевидно, равны −c_j. Значение целевой функции ∆0 = 0.

Алгоритм двойственного симплексного метода

Шаг 0. Построить начальную симплексную таблицу. Перейти на шаг 1.

Шаг 1. Проверить значения базисных переменных в столбце “БДР”. Если все значения неотрицательны, то найдено оптимальное решение. Перейти на шаг 7. Если хотя бы одно значение отрицательно, перейти на шаг 2.

Шаг 2. Среди отрицательных значений переменных столбца “БДР” выбрать максимальное по модулю значение (если их несколько, выбрать любое из них) и соответствующую строку объявить ведущей (r). Перейти на шаг 3.

Шаг 3. Проверить коэффициенты матрицы ограничения (a_rj, j = 1,...,n) ведущей строки. Если все , то задача не имеет решения, перейти на шаг 7. Иначе перейти на шаг 4.

Шаг 4. Для отрицательных элементов ведущей строки рассчитать отношение соответствующих элементов строки оценок к элементам ведущей строки. Среди полученных отношений выбрать минимальное (если их несколько – любое). Столбец, соответствующий минимальному отношению, объявить ведущим столбцом (s). Перейти на шаг 5.

Шаг 5. Элемент a_rs, стоящий на пересечении ведущей строки и ведущего столбца объявить разрешающим элементом. Перейти на шаг 6.

Шаг 6. Построить новую симплексную таблицу. В столбце “Базис” вместо переменной x_r записать переменную x_s. Применяя преобразование Жордано-Гаусса относительно a_rs, рассчитать значения элементов новой симплексной таблицы. Перейти на шаг 1.

Шаг 7. Конец алгоритма.