1.3 Математическая постановка задачи

Пусть игрок А применяет свою первую стратегию А₁. Тогда независимо от того, какую стратегию использует игрок В для игрока А гарантируется минималь­ный выигрыш А₁: Аналогичные рассуждения справедливы для стратегий

Очевидно, что минимальный гарантированный выигрыш игрока A пред­ставляет собой максимальное из значений α_i, т.е.

.

Величина α называется нижней ценой игры, а стратегия А_i0, обеспе­чивающая выигрыш α, называется максиминной стратегией. Таким обратом, если игрок А будет придерживаться стратегии А_i0,то его выигрыш будет не меньше величины α.

Игрок В за счет выбора оптимальной стратегии должен стремиться к мак­симальному уменьшению своего проигрыша. В частности, если игрок В применя­ет стратегию В₁, то его максимальный проигрыш Аналогичные рас­суждения справедливы для стратегий

Очевидно, что игрок А стремится минимизировать максимально возмож­ный проигрыш. Величина называется верхней ценой игры, а стратегия B_j0, соответствующая выигрышу β, называется минимаксной стра­тегией. Таким образом, применяя соответственно максиминную стратегию, игрок А обеспечивает себе гарантированный выигрыш в размере α, а игрок В, исполь­зуя минимаксную стратегию, уменьшает свой максимальный проигрыш до величины β.

Существует класс стратегических игр, для которых нижняя цена и верхняя иена равны между собой. Такие игры относятся к играм с седловой точкой. Седловая точка — это элемент матрицы ||a_ij|| который одновременно является минимальным в строке и максимальным в столбце. Величина ν, определяемая как ν=α=β называется чистой ценой игры.

Решение игры - это совокупность стратегий A_i0 и B_j0, соответствую­щих седловой точке. Для игроков выгодно придерживаться оптимальных стратегий A_i0 и B_j0. В том случае, если игрок В откажется от оптимальной стратегии B_j0, то проигрыш этого игрока увеличивается. Аналогично в случае отказа игроком А от оптимальной стратегии A_i0 его выигрыш уменьшается.

Смешанной стратегией игрока называется полный на­бор вероятностей применения его стратегий.

Пусть для игрока А определены т стратегий и полный на­бор вероятностей их использования: p_i — вероятность применения А_i -й стратегии,

Для этих вероятностей справедливо . Аналогично для

игрока В позиционированы n стратегий и соответствующие веро­ятности их использования где q_j- вероятность применения стратегии B_j, Для вероятностей справедливы следующие условия . Решение игры в чистых стратегиях яоляется частным случаем игры в смешанных стратегиях:

Стратегия называется активной, если вероятность ее применения не равна нулю. На первом шаге решения проверяется наличие седловой точки. При выполнении условия производится поиск решения в чистых стратегиях. Предположим, что игра не имеет седловой точки. Тогда следующий шаг предна­значен для упрощения игры и состоит в уменьшении количества возможных стра­тегий.

Стратегия А_k доминирует над стратегией А_z, если для всех

Иначе элементы k-й строки больше либо равны элементам z-й строки и среди элементов k-й строки имеется один или более элементов, которые строго больше элементов z-й строки.

Стратегия В_r доминирует над стратегией В_s если: .

Стратегия А_k, дублирует стратегию А_z, если .Аналогичное определение справедливо для стратегий В_r и В_s. Очевидно, что для игрока А стратегия A_k лучше стратегии А_z, и. следовательно, стратегия А_z, может быть исключена из платежной матрицы. Для игрока В стратегия В_r, обеспечивает меньший проигрыш по сравнению со стратегией В_s, и, следовательно, стратегию B_s целесообразно исключить из рассмотрения. В результате таких преобразова­ний игра упрощается, размер матрицы сокращается. Для преобразованной матри­цы находятся оптимальные стратегии:

для игрока А: ; для игрока В: ;

Для вычисления этих стратегий можно использовать метод линейного программирования либо итерационный алгоритм.