Нормальное распределение

PDF: exp[-(x - µ)²/2/σ²]/σ/(2π)^½

Exсel: НОРМРАСП(x;µ;σ;0)

Matlab: normpdf(x,µ,σ)

CDF: {1 + erf[(x - µ)/σ/2^½]}/2

Exсel: НОРМРАСП(x;µ;σ;1)

Matlab: normcdf(x,µ,σ)

Среднее значение: µ

Стандартное отклонение: σ

Нормальное распределение и связанное с ним логнормальное очень популярны в классической теории финансовых рынков. Они применяются для моделирования доходностей рисковых активов, таких как, напр., акции или валюты, распределения цены опционных контрактов и т.д. Считается, что на длинных временных интервалах – квартальных, годовых и т.д. «свечках» распределение реальных логдоходностей довольно неплохо приближается нормальным распределением. Несмотря на всю критику, нормальное распределение по-прежнему является очень важным в финансовой практике и заслуживает более подробного рассмотрения в отдельной лекции. Здесь же пока приводится лишь самая краткая информация. Нормальное распределение характеризуется всего двумя параметрами: µ и σ – среднее и стандартное отклонение или на финансовом языке – доходность и волатильность. Параметр µ задает центр распределения (максимум кривой PDF), а σ – типичный разброс значений вокруг него. Нормальное распределение можно применять для моделирования логдоходностей.

Логнормальное распределение

PDF: exp[-(ln x - µ)²/2/σ²]/x/σ/(2π)^½

Exсel: ЛОГНОРМРАСП(x;µ;σ;0)

Matlab: lognpdf(x,µ,σ)

CDF: {1 + erf[(ln x - µ)/σ/2^½]}/2

Exсel: ЛОГНОРМРАСП(x;µ;σ;1)

Matlab: logncdf(x,µ,σ)

Среднее значение: exp(µ + σ²/2)

Стандартное отклонение: {[exp(σ²) - 1]exp(2µ + σ²)}^½

Логнормальное распределение следует применять для описания обычных доходностей (вернее говоря, темпов роста цены – C/O = ДОХОДНОСТЬ + 1). В отличие от нормального оно ограничено нулем, что согласуется с тем фактом, что цена не может быть отрицательной величиной. По сути это одно и то же распределение связанное логарифмическим преобразованием доходностей, что выражается в большой схожести формул. Параметр µ для логнормального распределения является средним логарифмическим, т.е. средней логдоходностью, а σ – ее волатильностью. Выражение exp(µ) дает среднее геометрическое, т.е. реальный процентный рост актива.

Выводы

Итак, в этой лекции мы познакомились с основными, наиболее простыми законами распределения случайных величин и узнали как их можно использовать на практике. Приведенные примеры применения не являются исчерпывающими. Здесь главное уметь переводить те или иные торговые ситуации на язык математической статистики. Как только вы сформулировали положение в терминах той или иной вероятностной схемы (вроде количества выпадений орлов и решек для биноминального закона), вы можете смело применять арсенал матстата к вашей задаче.

Статистические оценки — это статистики, которые используются для оценивания неизвестных параметров распределений случайной величины.

Например, если   — это независимые случайные величины, с заданным нормальным распределением  , то   будет средним арифметическим результатов наблюдений.

Задача статистической оценки формулируется так:

Пусть   — выборка из генеральной совокупности с распределением  . Распределение   имеет известную функциональную форму, но зависит от неизвестного параметра  . Этот параметр может быть любой точкой заданного параметрического множества  . Используя статистическую информацию, содержащуюся в выборке  , сделать выводы о настоящем значении параметра  .