Дисперсия случайной величины

Дисперсия случайной величины характеризует меру разброса случайной величины около ее математического ожидания.

Если случайная величина  имеет математическое ожидание M , то дисперсией случайной величины  называется величина D = M( - M )².

Легко показать, что D = M( - M )²= M ² - M( )².

Эта универсальная формула одинаково хорошо применима как для дискретных случайных величин, так и для непрерывных. Величина M ² >для дискретных и непрерывных случайных величин соответственно вычисляется по формулам

,  .

Для определения меры разброса значений случайной величины часто используетсясреднеквадратичное отклонение  , связанное с дисперсией соотношением  .

Основные свойства дисперсии:

• дисперсия любой случайной величины неотрицательна, D   0;

• дисперсия константы равна нулю, Dc=0;

• для произвольной константы D(c ) = c²D( );

• дисперсия суммы двух независимых случайных величин равна сумме их дисперсий: D(  ) = D( ) + D ( ).

Пример:

      или  14/3*A-1 = 0  Откуда,  A = ³/₁₄

14.

Нормальное распределение, также называемое распределением Гаусса, — распределение вероятностей, которое играет важнейшую роль во многих областях знаний, особенно в физике. Физическая величина подчиняется нормальному распределению, когда она подвержена влиянию огромного числа случайных помех. Ясно, что такая ситуация крайне распространена, поэтому можно сказать, что из всех распределений в природе чаще всего встречается именно нормальное распределение — отсюда и произошло одно из его названий.

Нормальное распределение зависит от двух параметров — смещения и масштаба, то есть является с математической точки зрения не одним распределением, а целым их семейством. Значения параметров соответствуют значениям среднего (математического ожидания) и разброса (стандартного отклонения).

Свойства

Если случайные величины   и   независимы и имеют нормальное распределение с математическими ожиданиями   и   и дисперсиями   и   соответственно, то   также имеет нормальное распределение с математическим ожиданием   и дисперсией  .

Нормальное распределение
Плотность вероятности Зеленая линия соответствует стандартному нормальному распределению
Функция распределения Цвета на этом графике соответствуют графику наверху
Параметры	- коэффициент сдвига(вещественное число)  - коэффициент масштаба(вещественный, строго положительный)
Носитель
Плотность вероятности
Функция распределения
Математическое ожидание
Медиана
Мода
Дисперсия
Коэффициент асимметрии
Коэффициент эксцесса
Информационная энтропия
Производящая функция моментов
Характеристическая функция

 Характеристики случайных величин. В вероятностно-статистических методах принятия решений используется ряд характеристик случайных величин, выражающихся через функции распределения и плотности вероятностей.

 При описании дифференциации доходов, при нахождении доверительных границ для параметров распределений случайных величин и во многих иных случаях используется такое понятие, как «квантиль порядка р», где 0 < p < 1 (обозначается х_р). Квантиль порядка р – значение случайной величины, для которого функция распределения принимает значение р или имеет место «скачок» со значения меньше р до значения больше р (рис.2). Может случиться, что это условие выполняется для всех значений х, принадлежащих этому интервалу (т.е. функция распределения постоянна на этом интервале и равна р). Тогда каждое такое значение называется «квантилем порядка р».

Рис.2. Определение квантиля х_р порядка р.

 Математическое ожидание для равномерно распределенной случайной величины Х равно

Для рассматриваемых в настоящей главе случайных величин верны все те свойства математических ожиданий и дисперсий, которые были рассмотрены ранее для дискретных случайных величин с конечным числом значений. Однако доказательства этих свойств не приводим, поскольку они требуют углубления в математические тонкости, не являющегося необходимым для понимания и квалифицированного применения вероятностно-статистических методов принятия решений.

Среднее квадратическое отклонение – это неотрицательное значение квадратного корня из дисперсии:

 .

Коэффициент вариации – это отношение среднего квадратического отклонения к математическому ожиданию:

 .

Коэффициент вариации применяется при M(X)>0. Он измеряет разброс в относительных единицах, в то время как среднее квадратическое отклонение – в абсолютных.

15.