Биноминальное распределение

PMF: n!/m!/(n-m)! p^m (1 - p)^n-m

Exсel: БИНОМРАСП(m;n;p;0)

Matlab: binopdf(m,n,p)

CDF: Β_1-p(n - m, 1 + m),

где Β – регуляризованная неполная бета-функция

Exсel: БИНОМРАСП(m;n;p;1)

Matlab: binocdf(m,n,p)

Среднее значение: np

Стандартное отклонение: [np(1 - p)]^½

Это один из простейших дискретных законов. Предположим, что вероятность прибыльной сделки для некоторой торговой системы равна 60%. При таком раскладе даже чисто интуитивно можно ожидать 60 прибыльных сделок в серии из 100. Однако может и не повезти, и реальное число прибыльных трейдов окажется меньше. Находить вероятности таких событий можно при помощи биноминального распределения. Давайте, к примеру, вычислим вероятность выпадения только 50 прибыльных сделок в 100. Для этого воспользуемся формулой для PMF и получим 1.03%. Это довольно маленькая цифра, поскольку она представляет собой вероятность отдельного исхода. Чтобы найти вероятность полного спектра сценариев, когда число прибыльных сделок в серии оказывается меньше или равно 50: 50, 49, 48 и т.д., надо использовать CDF. В этом случае получаем 2.71%. Как видно, вероятность для целого сценарного спектра существенно больше.

Биноминальное распределение очень полезно, когда нужно оценить значимость отклонения какого-либо явления от равномерной схемы 50/50. Напр., вы узнаете, что некий управляющий за период в 10 лет смог в 7 годах получить доходность лучше рынка. Насколько вероятно, что у него действительно есть талант к отбору бумаг и т.п. вещам, или же этот результат – просто случайное отклонение? Для этого надо оценить вероятность выпадения 7 и более успехов в серии из 10 испытаний с вероятностью успеха 50% (один из вариантов т.н. «схемы Бернулли»). Используя CDF, мы можем найти вероятность выпадения 7 и менее успехов. 1 – CDF дает нам вероятность более 7 успехов, поэтому, чтобы учесть 7, в формулу для CDF надо подставлять n - 1, т.е. 6 в нашем случае. В итоге получаем 17.19%. Значит, вероятность чисто случайного получения такого хорошего результата довольно высока. В статистике обычно минимальным уровнем значимости считается 5%, поэтому гипотезу о наличии у управляющего особых способностей следует отбросить. Более того, даже при 8 удачных годах, вероятность случайного результата все еще довольно высока – 5.47%. При такой малой выборке говорить об устойчивости результатов можно лишь при 9-10 успехах.

Геометрическое распределение

PMF: p(1 - p)^n-1

Matlab: geopdf(n-1,p)

CDF: 1 - (1 - p)ⁿ

Matlab: geocdf(n-1,p)

Среднее значение: 1/p

Стандартное отклонение: (1 - p)^½/p

Этот закон позволяет вычислить вероятность успеха на определенном шаге испытания. Так, если вероятность прибыльной сделки торговой системы равна 60%, можно вычислить вероятность того, что успех наступит в первой же сделке или во второй, третьей и так далее. Нетрудно убедится, что наиболее вероятным является достижение успеха в первой же сделке, причем этот факт не зависит от самой вероятности успеха. Однако для хорошей системы эта вероятность будет высока, напр., 60%, а для плохой – низка, напр., 50% и меньше. С увеличением числа сделок вероятность получить хотя бы одну прибыльную приближается к единице. Напр., для нашей системы успех с вероятностью 99% будет достигнут не более чем за 5 сделок, в чем можно убедиться, использовав формулу для CDF. Для сравнения системе с 40% вероятностью успеха потребовалось бы 9 шагов, что бы с такой же надежностью добиться успеха.

Геометрическое распределение существует так же и в другом варианте. Если кого-то интересует вероятность количества убыточных сделок до первой прибыльной, он тоже может воспользоваться геометрическим распределением, только вместо n в формулы для PMF и CDF подставлять n+1. Получится соответственно: p(1 - p)ⁿ и 1 - (1 - p)ⁿ⁺¹. Среднее же значение будет равно среднему количеству шагов до успеха минус единица.