13.Экспоненциальное (показательное) распределение
Случайная
величина X распределена
по экспоненциальному
закону спараметром 
. Если
ее плотность распределения вероятностей
задается формулой:
(1.12.12)
Функция распределения показательного закона:
(1.12.13)
Типичные примеры, где реализуется экспоненциальное распределение – теория обслуживания, при этом X - например, время ожидания при техническом обслуживании, и теория надежности, здесь X - например, срок службы радиоэлектронной аппаратуры.
Показательное распределение тесно связано с простейшим (пуассоновским) потоком событий (см. п. 1.12.2): интервал времени T между двумя соседними событиями в простейшем потоке имеет показательное распределение с параметром, равным интенсивности потока:
(t >
0).
Основные характеристики показательного распределения:
(1.12.14)
ПРИМЕР
7. Время
безотказной работы ЭВМ – случайная
величинаT, имеющая
показательное распределение с параметром
l = 5 (физический смысл величины l - среднее
число отказов в единицу времени, не
считая простоев ЭВМ для ремонта).
Известно, что ЭВМ уже проработала без
отказов время t. Найти при этих условиях
плотность и функцию распределения
времени, которое проработает ЭВМ после
момента t до ближайшего отказа.
Решение. Так как простейший поток отказов не имеет последствия, вероятность появления хотя бы одного отказа на участке от t до t + tне зависит от того, появлялись ли отказы ранее момента t. Следовательно, подставив l = 5 в соотношение (1.12.12) и в (1.12.13), получим:
.
.
Графики плотности и функции полученного показательного распределения изображены на рис. 1.12.6.
Рис. 1.12.
Каждая случайная величина полностью определяется своей функцией распределения.
В то же время при решении практических задач достаточно знать несколько числовых параметров, которые позволяют представить основные особенности случайной величины в сжатой форме. К таким величинам относятся в первую очередь математическое ожидание и дисперсия.
Математическое ожидание случайной величины
Математическое ожидание - число, вокруг которого сосредоточены значения случайной величины. Математическое ожидание случайной величины обозначается M .
Математическое ожидание дискретной случайной величины , имеющей распределение
x1 |
x2 |
... |
xn |
p1 |
p2 |
... |
pn |
называется
величина 
,
если число значений случайной величины
конечно.
Если
число значений случайной величины
счетно, то 
.
При этом, если ряд в правой части равенства
расходится, то говорят, что случайная
величина не
имеет математического ожидания.
Математическое
ожидание непрерывной случайной величины с
плотностью вероятностей p(x)
вычисляется по формуле 
.
При этом, если интеграл в правой части
равенства расходится, то говорят, что
случайная величина не
имеет математического ожидания.
Если случайная величина является функцией случайной величины , = f(x), то
.
Аналогичные формулы справедливы для функций дискретной случайной величины:
, 
.
Основные свойства математического ожидания:
математическое ожидание константы равно этой константе, Mc=c ;
математическое ожидание - линейный функционал на пространстве случайных величин, т.е. для любых двух случайных величин , и произвольных постоянных a и bсправедливо: M(a + b ) = a M( )+ b M( );
математическое ожидание произведения двух независимых случайных величин равно произведению их математических ожиданий, т.е. M( ) = M( )M( ).