
- •Глава 4. Анализ дискретных систем автоматического управления
- •4.1. Свойства дискретных систем
- •4.2. Преобразование и обработка сигналов
- •4.2.1. Математическое описание процесса квантования
- •4.3. Импульсная теорема
- •4.4. Фиксатор нулевого порядка
- •4.5. Элементы теории z-преобразования
- •4.5.1. Определение z-преобразования
- •4.5.2. Обратное z-преобразование
- •4.5.3. Теоремы z-преобразования
- •4.6. Импульсная передаточная функция
- •4.6.1. Последовательное соединение звеньев импульсных систем
- •4.6.2. Импульсная передаточная функция фиксатора нулевого порядка и связь между w(s) и w(z)
- •4.7. Процессы между моментами квантования
- •4.8. Метод пространства состояний
- •4.8.1. Уравнения состояния цифровых систем с квантованием и фиксацией
- •4.8.2. Уравнения состояния цифровых систем, содержащих только цифровые элементы
- •4.8.3. Переходные уравнения состояния цифровых систем
- •4.8.4. Переходные уравнения состояния цифровых стационарных систем
- •4.9. Устойчивость дискретных систем
- •4.9.1. Условия устойчивости
- •4.9.2. Критерии устойчивости
- •4.9.3. Робастность
- •4.9.4. Второй метод Ляпунова
- •4.10. Управляемость, достижимость и наблюдаемость
- •4.11. Процессы в нелинейных импульсных системах
- •4.11.1. Построение процессов
- •4.11.2. Вынужденные и свободные процессы
- •4.11.3. Возможные процессы
- •4.11.4. Влияние квантования по уровню
- •4.12. Устойчивость нелинейных импульсных систем
- •4.12.1. Понятие устойчивости
- •4.12.2. Условия абсолютной устойчивости
- •4.12.3. Критерий абсолютной устойчивости
- •4.13. Оценки качества свободных процессов
- •4.13.1. Мера быстродействия нелинейных импульсных систем
- •4.13.2. Оценка суммарного квадратического отклонения
- •Контрольные вопросы
4.6. Импульсная передаточная функция
До сих пор рассмотрение дискретных систем сводилось к изучению свойств и математического описания дискретных сигналов. Теперь проанализируем случай, когда дискретный сигнал прикладывается к входу линейной системы.
Для
линейной разомкнутой системы с непрерывным
сигналом
на
входе (рис. 4.15, а)
соотношение
вход-выход описывается передаточной
функцией
Если теперь на вход этой же системы приложить квантованный сигнал, как показано на рис. 4.16, б, то преобразование Лапласа для выходного сигнала системы можно записать в виде
где
−
преобразование
Лапласа дискретного сигнала. Наша задача
найти способ описания цифровой системы
в терминах z-преобразований
и
.
Проще
всего это сделать, получив с помощью
выражения
(4.123)
Используя тождество, получим
(4.124)
Перепишем выражение (4.123) в виде
(4.125)
Определяя
(4.126)
из соотношения (4.125), получим
(4.127)
Переходя
к переменной
,
получим
следующий вид выражения (4.127):
(4.128)
что является требуемым передаточным отношением для линейной системы с дискретным входным сигналом. Заметим, что выходной сигнал системы может быть непрерывным, но выражение (4.128) определяет выходной сигнал только в моменты квантования.
Рис. 4.15. Линейная система с непрерывным (а)
и дискретным (б) входными сигналами
Выражение
(4.128) может быть получено иным способом
при анализе импульсной
переходной функции. Предположим, что
единичный импульс прикладывается
к входу системы (рис. 4.15, б)
при
t
=
0. Выходной сигнал
системы описывается импульсной переходной
функцией
.
Если
на
выходе системы расположен фиктивный
квантователь
,
синхронизированный
с
,
то
выходной сигнал квантователя
может
быть записан в
виде
(4.129)
где
весовая,
или
импульсная,
последовательность системы
для k
= 0, 1,2,3,....
Если
к входу линейной системы приложен
дискретный сигнал
,
то
выходной сигнал системы можно записать
в форме
(4.130)
При t = kT, где k положительное целое число, выражение (4.130) примет вид
(4.131)
Беря z-преобразование от обеих частей (4.131) и применяя теорему о свертке во временной области, получим
(4.132)
где
(4.133)
является импульсной передаточной функцией линейной системы. Следовательно, импульсная передаточная функция W(z) связывает z-преобразование входного сигнала R(z) с z-преобразованием выходного Y(z) подобно тому, как передаточная функция непрерывной системы W(p) связывает R(p) и Y(p).
В выражении (4.132) z-преобразование определяет непрерывный сигнал y(t) только в дискретные моменты времени t = kT, что является одним из ограничений метода z-преобразования. В некоторых случаях потеря информации между моментами квантования не имеет значения. В других же случаях, если в сигнале y(t) между моментами квантования содержатся колебания большой амплитуды, метод z-преобразования часто может дать неправильные результаты. При сравнении выражений (4.126) и (4.133) видно, что импульсная передаточная функция Y(z) находится по импульсной переходной функции g(t) точно так же, как R(z) определяется по сигналу r(t).