4.5.3. Теоремы z-преобразования
Использование z-отображения часто может быть существенно облегчено применением теорем z-преобразования. Ниже приводятся доказательства основных теорем z-преобразования.
1.
Суммирование и вычитание.
Если
и
имеют z-преобразования:
(4.92)
и
(4.93)
то, соответственно,
(4.94)
Д о к а з а т е л ь с т в о. Из определения z-преобразования следует:
(4.95)
2.
Умножение на константу.
Если
есть z-преобразование
,
то
(4.96)
где а – константа.
Д о к а з а т е л ь с т в о. Из определения z-преобразования следует:
(4.97)
3. Сдвиг по временной области. Если имеет z-преобразование , то
(4.98)
(4.99)
где n – положительное целое число.
Д о к а з а т е л ь с т в о. По определению
(4.100)
что может быть записано как
(4.101)
Предполагая,
что
равно нулю при
,
получим выражение (4.101) в виде
(4.102)
Для доказательства (4.101) запишем:
(4.103)
4. Теорема об умножении оригинала на экспоненту (смещение в области изображений). Если имеет z-преобразование , то
(4.104)
где а – константа.
Д о к а з а т е л ь с т в о. По определению
(4.105)
Положим
,
тогда выражение (4.105) запишем в виде
(4.106)
Следовательно,
(4.107)
5. Теорема о начальном значении. Если функция имеет z-преобразование и если существует предел
,
то
(4.108)
Из
теоремы следует, что значение дискретного
сигнала
при t
= 0
определяется
значением
при
.
Д о к а з а т е л ь с т в о. По определению можно представить в виде
Возьмем предел от каждой части последнего выражения и, учитывая, что z стремится к бесконечности, получим
(4.109)
6.
Теорема
о конечном значении.
Если функция
имеет z-преобразование
и
функция
не имеет полюсов на окружности
единичного радиуса
или вне ее на z-плоскости,
то
(4.110)
Д о к а з а т е л ь с т в о. Рассмотрим два ряда с конечным числом членов:
(4.111)
(4.112)
Предположим,
что
=
0 при t
< 0,
тогда
в
выражении (4.112)
.
Сравнивая выражения (4.111)
и (4.112), видим, что последний
ряд может быть записан как
(4.113)
Определим
в
пределе при
разность между выражениями (4.111) и
(4.113):
(4.114)
В
последнем выражении возьмем предел при
,
тогда
(4.115)
Меняя порядок перехода к пределу в последнем выражении и учитывая, что
получим
что и является доказательством теоремы о конечном значении.
Пример 4.3. Используя теорему о конечном значении, определить конечное значение f(kT) для заданного z-преобразования
Для решения нужно применить теорему о конечном значении, так как функция
не имеет полюсов на единичной окружности |z| = 1 или вне ее. Следовательно, получим
Полученный
результат можно проверить разложением
F(z)
в
ряд по степеням
:
Видно, что последовательность значений коэффициентов ряда быстро сходится к установившемуся значению, равному единице.
7. Теорема дифференцирования. Пусть z-преобразование функции f(t, а) есть F(z, а), где а независимая переменная или константа. Тогда z-преобразование частной производной функции f(t, а) по а определяем как
(4.116)
Д о к а з а т е л ь с т в о. По определению
Теорема о свертке во временной области. Если функции
и
имеют
z-преобразования
F1(z)
и F2(z)
соответственно и
для t
< 0,
то
(4.117)
Д о к а з а т е л ь с т в о. Правая часть уравнения (4.117) может быть записана в виде
(4.118)
Полагая
и
изменяя порядок суммирования, получим
(4.119)
Так
как
для t<
0,
то последнее выражение примет вид
(4.120)
Нетрудно заметить, что теорема о свертке во временной области аналогична соответствующей теореме преобразования Лапласа. Однако необходимо помнить, что обратное z-преобразование (или Лапласа) произведения двух функций не равно произведению соответствующих оригиналов, т. е.
(4.121)
9.
Теорема о свертке в области изображений.
Если z-преобразования
и
соответственно равны
,
то z-преобразование
произведения
этих двух функций
(4.122)
где Г окружность, которая лежит в кольцевой области, определяемой выражениями:
где
и
радиусы сходимости соответственно
и
.