4.3. Импульсная теорема

Из анализа спектров сигналов можно заключить, что наименьшая частота квантования для возможности восстановления сигнала равна , где – наивысшая частота, содержащаяся в спектре . Формально это положение известно как импульсная теорема. Теорема утверждает, что если сигнал не содержит частот выше, чем радиан в секунду, он полностью описывается своими значениями, измеренными в дискретные моменты времени с интервалом секунд.

В соответствии с импульсной теоремой непрерывный сигнал может быть получен из дискретного по интерполяционной формуле

Преобразование Фурье:

По условию теоремы функция F равна нулю вне интервала . Если , то

.

Значение непрерывной функции на основе равно

Меняя порядок интегрирования и суммирования, получаем

Однако реально на выбор частоты квантования влияют требование устойчивости замкнутых систем и другие практические соображении, которые могут сделать необходимым квантование сигнала с частотой более высокой, чем теоретический минимум. Более того, сигналы с ограниченным спектром физически не существуют в системах связи или управления. Все физические сигналы, существующие в реальном мире, содержат гармоники, покрывающие широкий диапазон частот. Но вследствие того, что амплитуды высокочастотных составляющих значительно ослаблены, предполагается, что сигнал имеет ограниченный спектр. Поэтому на практике эти факторы в сочетании с нереализуемостью идеального низкочастотного фильтра делают невозможным точное воспроизведение непрерывного сигнала по его дискретным выборкам, даже если выполняются условия импульсной теоремы.

Следует привести замечание по поводу импульсной теоремы: сигнал все же может быть полностью определен при квантовании его со скоростью меньшей, чем радиан в секунду, если в моменты выборки известна информация, как об амплитуде сигнала, так и о его производных. Фогель и другие доказали, что если сигнал не содержит частот больших, чем радиан в секунду, он полностью определяется значениями и , измеренными в дискретные моменты времени с интервалом секунд, где

(4.53)

Это означает, что если кроме значений в моменты известны значения первой производной , то максимально допустимый период квантования . Это вдвое больше периода, необходимого при измерении только . Добавление каждой последующей производной позволяет увеличивать интервал между выборками до величины , где n – порядок высшей производной, при условии, что для каждой выборки все производные низших порядков известны.

4.4. Фиксатор нулевого порядка

Если для аппроксимации сигнала между двумя последовательными выборками используют только первый член, то реализованное устройство называется фиксатором нулевого порядка. Этот тип фиксатора может быть применен для моделирования операции фиксации в устройстве выборки и хранения. В этом случае

Выражение определяет импульсную переходную функцию экстраполятора нулевого порядка, входной и выходной сигналы которого показаны на рис. 4.10. Работа квантователя и фиксатора нулевого порядка иллюстрируется с помощью простой схемы, показанной на рис. 4.12. Предполагается, что конденсатор мгновенно заряжается до напряжения f(kT) в момент выборки t = kT. Так как ключ квантователя разомкнут в течение периода квантования Т, то конденсатор сохраняет заряд до момента прихода следующего импульса от квантователя. Предполагается, что входное сопротивление усилителя равно бесконечности, поэтому разряд конденсатора отсутствует.

Таким образом, фиксатор нулевого порядка преобразует входные импульсы в последовательность прямоугольных импульсов длительностью Т. Однако на практике усилитель имеет конечное входное сопротивление, поэтому в действительности форма выходного сигнала фиксатора нулевого порядка соответствует не прямоугольным импульсам, а последовательности импульсов, амплитуда которых уменьшается экспоненциально с большой постоянной времени.

a) б)

Рис. 4.10. Единичный импульс на входе фиксатора нулевого порядка (а) и реакция фиксатора нулевого порядка

на импульсное воздействие (б)

Рис. 4.11. Упрощенная схема квантователя и фиксатора нулевого порядка

Заметим, что выходной сигнал фиксатора нулевого порядка является ступенчатой аппроксимацией непрерывного сигнала, и увеличение частоты квантования приведет к увеличению точности этой аппроксимации.

Реакция фиксатора нулевого порядка на импульсное воздействие, что следует из рис. 4.10, может быть записана в виде

(4.54)

где – единичная ступенчатая функция.

Тогда передаточная функция фиксатора нулевого порядка

(4.55)

Рис. 4.12. Временные процессы в фиксаторе нулевого порядка:

а  входной и квантованный сигналы; б  выходной сигнал

Заменяя на в выражении 4.54, получим

(4.55)

Выражение (4.55) может быть записано в виде

(4.56)

или

(4.57)

Поскольку Т – период квантования и , где – частота квантования, рад/с, то выражение (4.57) может быть представлено как

(4.58)

Амплитудная и фазовая характеристики фиксатора нулевого порядка обладает свойствами низкочастотного фильтра. Однако при сравнении характеристик фиксатора и идеального фильтра видно, что амплитудная характеристика фиксатора нулевого порядка обращается в нуль при вместо того, чтобы резко спадать до нуля при . При модуль равен 0,636.

Из рис. 4.12 хорошо видно, что точность фиксатора нулевого порядка как устройства экстраполирования существенно зависит от частоты квантования . Влияние частоты квантования на точность фиксатора нулевого порядка может быть прослежено также по частотным характеристикам. В целом можно сказать, что на практике используют исключительно фильтрующие свойства фиксатора нулевого порядка, и потому в дальнейшем мы будем ссылаться на комбинацию квантователь-фиксатор нулевого порядка как на устройство выборки и хранения.