4.2. Преобразование и обработка сигналов

4.2.1. Математическое описание процесса квантования

Квантователь как амплитудно-импульсный модулятор. Операция квантования может рассматриваться как преобразование аналогового или непрерывного во времени сигнала в модулированный импульсный или цифровой сигнал. Как было показано выше, распространенным видом модуляции в процессе выборки и хранения является амплитудно-импульсная модуляция (АИМ).

На рис. 4.3 показана структурная схема периодического квантователя с конечным временем выборки. Длительность импульса или время выборки равно s, период квантования  Т. Безусловно, на практике время выборки s (временной интервал), в течение которого ключ квантователя замкнут, конечно.

Для входного сигнала f(t), который является функцией непрерывно изменяющегося параметра t, выход квантователя, обозначенный как , представляет последовательность импульсов конечной длительности, амплитуда которых промодулирована входным сигналом f(t).

На рис. 4.4 квантователь представлен как эквивалентный амплитудно-импульсный модулятор. В этом случае входной сигнал f(t) должен быть умножен на несущий сигнал р(t), который является последовательностью периодических импульсов единичного веса. Типичные формы входного сигнала f(t) несущего сигнала s(t) и выходного сигнала f_p* (t) иллюстрирует рис 4.5.

Законы управления работой квантователей, используемых в цифровых системах, могут быть различны. Например, период квантования может быть непостоянным или изменяться циклически. Довольно часто встречаются цифровые системы с несколькими квантователями и с различными периодами квантования (например, показанная на рис. 4.6). Системы такого типа обычно называют системами с многократным прерыванием. Периоды квантования таких систем могут быть кратными, некратными и несинхронизированными.

В некоторых физических системах операция квантования может происходить случайно, т. е. временной интервал между прерываниями может рассматриваться как случайный процесс.

Использование модели амплитудно-импульсного модулятора для представления квантователя (см. рис. 4.4) обеспечивает очевидное преимущество: при различных законах квантования меняется только несущий сигнал s(t).

Если квантователь работает по схеме широтно-импульсной модуляции (ШИM), то выходной сигнал представляет собой последовательность импульсов, длительность которых является функцией амплитуды входного сигнала в моменты выборки. Типичные входные и выходные сигналы ШИМ показаны на рис. 4.6. Существуют и более сложные схемы преобразования. В одной из них в соответствии с входным сигналом в моменты замыкания изменяются и амплитуда и длительность выходных импульсов. Такой тип квантователя известен как широтно-импулъсный амплитудный модулятор. В некоторых случаях применение подобных сложных квантователей позволяет улучшить характеристики цифровых систем управления.

Рис. 4.3. Схема кван-тователя с постоянным периодом и конечным временем выборки

Рис. 4.4. Амплитудно-импульсный модулятор как квантователь: s(t) – несущий сигнал

Рис. 4.5. Входной и выходной Рис. 4.6. Входной и выходной

сигналы квантователя с сигналы широтно-мпульсного

постоянным периодом модулятора

Соотношение вход-выход для квантователя с конечной шириной импульсов. Концепция амплитудно-импульсного модулятора, представленная выше, оказывается полезной для математического анализа операции квантования. Квантователь, который может быть описан процессом амплитудно-импульсной модуляции (рис. 4.4 и 4.5), является линейным устройством. Это справедливо, так как квантователь удовлетворяет принципу суперпозиции. Однако сущность аналого-цифрового преобразования затрудняет получение корректной передаточной функции. Тем не менее, поскольку рассматриваемый здесь квантователь является линейным, то для получения соотношения вход-выход можно использовать преобразования Фурье и Лапласа.

Рис. 4.7. Последовательность единичных импульсов

Выходной сигнал квантователя с постоянным периодом и конечной шириной импульсов, получаемый при входном сигнале f(t), может быть рассмотрен как произведение входного сигнала f(t) и несущего сигнала s(t), который является последовательностью единичных импульсов с периодом Т (см. рис. 4.7). Таким образом, несущий сигнал можно выразить как

, (4.1)

где u_s (t)  единичная ступенчатая функция :

(4.2)

В данном случае предполагаем, что операция квантования начинается при t = −  и передний фронт импульса при t = 0 совпадает с t =

= 0 (рис. 4.7). Выход квантователя запишем в виде

(4.3)

Подставляя соотношение (4.1) в (4.3), получим

. (4.4)

Выражение (4.4) представляет описание во временной области соотношения вход-выход для квантователя с постоянным периодом и конечной длительностью импульсов.

Последовательность импульсов обычно содержит составляющие с большими частотами, чем f(t). Следовательно, квантователь можно рассматривать как генератор гармоник.

Поскольку последовательность единичных импульсов s(t) является периодической функцией с перидом Т, она может быть представлена в виде ряда Фурье

(4.5)

где  частота квантования, рад/с, которая связана с периодом квантования соотношением

(4.6)

 коэффициенты ряда Фурье в комплексной форме, определяемые как

_(4.7)

Так как s(t) = 1 для 0  t  s, то соотношение (4.7) принимает вид

_(4.8)

Используя известное тригонометрическое соотношение, запишем

(4.9)

Подставляя соотношение (4.9) в выражение (4.5), имеем

(4.10)

Подстановка s(t) из (4.10) в (4.3) дает

(4.11)

где определяется из соотношения (4.9).

Преобразование Фурье для сигнала может быть получено в виде

(4.12)

где z  операция преобразования Фурье. Используя теорему о смещении преобразования Фурье в области комплексной переменной, которая утверждает, что

(4.13)

соотношение (2.12) можно записать как

(4.14)

Соотношению (4.14) можно придать иную форму:

(4.15)

где п изменяется от  до +.

Важность рассмотрения операции квантования в частотной области иллюстрируется следующим исследованием соотношения (4.15).

Определим коэффициент ряда Фурье в соотношении (4.9) при

n  0:

(4.16)

В соотношении (4.15) возьмем только член, соответствующий n = 0:

(4.17)

Последнее выражение иллюстрирует важное свойство: гармоники, содержащиеся в непрерывном входном сигнале f(t), представлены и в выходном сигнале квантователя , однако их амплитуды отличаются в s/Т раз.

Для n  0 коэффициент С_п является комплексной величиной, но его модуль может быть записан в виде

(4.18)

Модуль равен

(4.19)

Частотный спектр последовательности единичных импульсов представляет собой зависимость коэффициентов ряда Фурье С_п от , когда п принимает различные целые значения от  до +. Амплитудный спектр С_п не является непрерывной функцией; он представлен равностоящими спектральными линиями при для п = 0, ±1, ±2,... Огибающая спектра описывается правой частью соотношения (4.19).

Это соотношение можно записать также в форме

, (4.20)

которая может быть использована для иллюстрации амплитудного спектра . Следует заметить, что содержит не только основную составляющую , но и транспонированные составляющие , n = ±1, ±2,... .

Для получения п-й транспонированной составляющей выходного спектра необходимо умножить | | на соответствующий коэффициент ряда Фурье и сдвинуть его на , n = ±1, ±2, ±3, ... . Следовательно, квантователь можно представить как генератор гармоник, выход которого содержит основную составляющую и все транспонированные составляющие с соответствующими весовыми коэффициентами, отстоящие друг от друга на частоту квантования. Основная полоса частот передает всю информацию, содержащуюся в непрерывном входном сигнале. Эта же информация повторяется в боковых полосах частот, причем амплитудный спектр каждой боковой полосы определяется весовым коэффициентом – модулем соответствующего коэффицента ряда Фурье . Частотный спектр для (рис. 4.8, в), получен при условии, что частота квантователя _k превышает более чем в 2 раза высшую частотную составляющую сигнала , т. е. . Если , то частотный спектр будет искажаться вследствие наложения гармоник.

Явление перекрытия высокочастотных составляющих основной составляющей частотного спектра квантованного сигнала иногда называют наложением.

Требование, чтобы частота была по крайней мере в 2 раза больше высшей частотной составляющей сигнала f(t), известно под названием импульсной теоремы. Частоту иногда называют граничной. В действительности большинство сигналов в системах управления не могут быть представлены в виде ограниченного спектра, как показано на рис. 4.8, б, поэтому эффект наложения будет иметь место, даже если частоту квантования сделать больше граничной частоты. Физический смысл эффекта наложения и его влияние на характеристики цифровых систем управления будут рассмотрены ниже.

Преобразование Фурье для сигнала , определяемое соотношением (4.14) или (4.15), весьма полезно для иллюстрации эффектов квантования в частотной области. Оба выражения показывают, что преобразование Фурье для квантованного сигнала f_p*(t) может быть получено сдвигом аргумента преобразования Фурье для непрерывного во времени сигнала на величину и умножением его на . Однако выражения для не удобны для аналитического исследования, так как представлены в виде бесконечных рядов.

Альтернативное описание квантованного сигнала в области изображений можно получить с помощью теоремы о свертке в преобразовании Лапласа. Преобразование Лапласа для [см. соотношение (4.3)] запишем в виде

(4.21)

Соотношение (4.21) можно записать в виде

(4.22)

где символ * означает операцию свертки в преобразовании Лапласа; F(p) и S(p)  изображения по Лапласу функций и соответственно.

Определим сначала изображение функции по Лапласу. Подвергнем преобразованию Лапласа обе части соотношения (4.1), тогда

(4.23)

Суммирование в выражении (4.23) начинается при k = 0, так как одностороннее преобразование Лапласа определяется для . Бесконечный ряд в (4.23) можно записать в компактной форме

(4.24)

Подставляя S(p) из последнего уравнения в выражение (4.22), получим

(4.25)

Из теоремы свертки следует, что

(4.26)

Тогда, используя выражение (4.24), соотношение (4.25) можно представить в виде

(4.27)

где  переменная интегрирования; ;

;  действительная часть s: и  абсциссы абсолютной сходимости функций и , соответственно. Частично интеграл в выражении (4.27) берется вдоль прямой линии от до на комплексной –плоскости (рис. 4.9).

Интеграл в выражении (4.27) может быть определен интегрированием по контуру, образованному линией от до и полуокружностью бесконечно большого радиуса, охватывающей правую или левую часть -плоскости. Значение контурного интеграла может быть вычислено с помощью теоремы вычетов теории функций комплексной переменной. Другими словами, выражение (4.27) может быть записано в виде

(4.28)

или

(4.29)

где и  замкнутые контуры, включающие левую и правую часть -плоскости соответственно. Оба контура показаны на рис. 4.8.

Рис. 4.8. Контуры интегрирования в правой и левой частях

-плоскости

Для того чтобы использовать теорему о вычетах, необходимо исследовать полюса и нули функций и . Обычно полюсы расположены в левой части -плоскости или на мнимой оси, и их число конечно; функция имеет простые полюса

,   n (целое)  , (4.30)

где Т  период квантования;  частота квантования. Из выражения (4.30) следует, что число полюсов бесконечно, и они расположены на -плоскости вдоль прямой с интервалами . Типичное расположение полюсов и показано на рис. 4.8. Если функция имеет число полюсов хотя бы на одно больше, чем нулей, т. е.

(4.31)

то вторые члены в правой части выражений (4.28) и (4.29) равны нулю, поскольку интегралы вдоль полуокружностей бесконечного радиуса исчезают. Тогда уравнение (4.28) принимает вид

(4.32)

Из теоремы о вычетах следует, что значение контурного интеграла (4.32) равно сумме вычетов подынтегральной функции, определенных в тех ее полюсах, которые попадают внутрь замкнутого контура Г₁. Следовательно,

в полюсах F(s). (4.33)

Если предположить, что является рациональной функций с k простыми полюсами, то выражение (4.33) имеет вид

(4.34)

где

(4.35)

(4.36)

– n-й полюс ; .

Предположим, что – рациональная алгебраическая функция, имеющая различных полюсов , причем имеет кратность . Тогда

(4.37)

где

(4.38)

Теперь рассмотрим контурный интеграл (4.29), который вычисляется по контуру Г₂. Если выполняется условие (4.31), то выражение (4.29) запишем как

(4.39)

Применяя теорему о вычетах, запишем соотношение (4.39) в виде

(4.40)

в полюсах ,

где минус перед знаком суммы подчеркивает, что обход вдоль контура интегрирования Г₂ производится по часовой стрелке. Так как функция имеет только простые полюса, лежащие с периодическими интервалами вдоль прямой на -плоскости, выражение (4.40) станет равным

(4.41)

где – полюса , . В этом же выражении

(4.42)

Следовательно, выражение (4.41) имеет вид

(4.43)

Заметим, что если р заменить на , выражение (4.43) становится идентичным соотношению (4.15), которое получено другим методом.

Итак, мы получили несколько альтернативных выражений для описания передаточных свойств квантователя с конечной шириной импульсов.

Идеальный квантователь. При анализе работы квантователя, если время выборки s много меньше периода квантования Т и наименьшей постоянной времени входного сигнала , выходной сигнал квантователя с конечной шириной импульсов может быть представлен следующей последовательностью прямоугольных импульсов:

(4.44)

где = 0, 1, 2, 3, ... .

Запишем в виде

(4.45)

где – единичная ступенчатая функция.

Преобразовывая по Лапласу обе части выражения (4.46), получим

(4.46)

Если время выборки р очень мало, то

(4.47)

Тогда выражение (4.46) примет вид

(4.48)

что соответствует оригиналу

(4.49)

где  единичная импульсная функция.

Правая часть выражения (4.49) представляет собой последовательность импульсов с площадью импульса при t = kT. Это означает, что квантователь с конечной шириной импульсов может быть заменен «импульсным модулятором» (см. рис. 4.4) с несущим сигналом вида

(4.50)

или идеальным квантователем, выход которого соединен с усилителем (с коэффициентом ослабления s), как показано на рис. 4.10. Квантователи с конечной длительностью импульсов и идеальный квантователь (рис. 4.9, а и б) эквивалентны, если s много меньше периода квантования Т и наименьшей постоянной времени . Таким образом, идеальный квантователь может быть определен как квантователь с нулевым временем выборки, который замыкается и размыкается мгновенно через каждые Т секунд. Заметим, что усилитель необходим только в том случае, если не применяется устройство фиксации.

Выходной сигнал идеального квантователя можно записать в форме

(4.51)

где – входной сигнал квантователя.

Предполагается, что квантование начинается при t = 0. Подвергая обе части выражения (4.51) преобразованию Лапласа, получим

(4.52)

что является изображением по Лапласу выходного сигнала идеального квантователя.

Рис. 4.9. Схема квантователя:

а – с конечной длительностью импульсов; б – идеального, выход которого соединен с усилителем