4.12. Устойчивость нелинейных импульсных систем

4.12.1. Понятие устойчивости

Процесс в нелинейной импульсной системе х(kТ) можно представить в виде суммы вынужденного процесса х^в(kТ) и свободного процесса х^c(kТ):

x(kT) = х^в(kТ)+ х^c(kТ). (4.294)

Установление вынужденного процесса в нелинейной системе воз­можно лишь тогда, когда свободный процесс с течением времени стремится к нулю, т. е.

(4.295)

Как следует из параграфа 4.11.2, вынужденный процесс в нелинейной импульсной системе определяется нелинейным суммарным уравне­нием вида

(4.296)

а соответствующий свободный процесс х^с(kТ)  суммарным уравнением, которое можно записать в форме

(4.297)

где

(4.298)

Будем говорить, что вынужденный процесс х^в(kТ) устойчив, если соответствующий ему свободный процесс х^с(kТ) с тече­нием времени стремится к нулю (см. уравнение (4.295)). Обозначим квадрат исчезающего внешнего воздействия через η, так что

(4.299)

Если условие (4.295) выполняется при достаточно малых вели­чинах Т, то имеет место устойчивость вынужденного про­цесса «в малом». Если условие (4.295) выполняется при фикси­рованной конечной величине η, то имеет место устойчи­вость вынужденного процесса «в большом». Если условие (4.295) выполняется при любой величине η, то имеет место устойчивость вынужденного процесса «в целом». Устойчивость вы­нужденного процесса в целом не для одной фиксированной ха­рактеристики нелинейного элемента Ф(x), а для некоторого се­мейства таких характеристик называется абсолютной устойчивостью вынужденного процесса.

Поскольку состояние равновесия является частным случаем вынужденного процесса, вызываемого постоянным внешним воздействием, то из устойчивости вынужденного процесса в целом либо абсолютной устойчивости вынужденного процесса следует и устойчивость положения равновесия. В этом случае можно го­ворить об устойчивости в целом либо абсолютной устойчивости нелинейной импульсной системы. Таким образом, нелинейная импульсная система абсолютно устойчива, если все возможные в ней вынужденные процессы абсо­лютно устойчивы.

4.12.2. Условия абсолютной устойчивости

Рассмотрим нелинейную импульсную систему (рис. 4.33), к входу которой приложено ограниченное внешнее воздействие

Рис. 4.33. Нелинейная система

Предположим вначале, что ее линейная импульсная часть устойчива, т. е.

(4.300)

Найдем условия абсолютной устойчивости процессов в нелинейной импульсной системе. Свободный процесс в общем случае определяется уравнением (4.298). Образуем функцию

(4.301)

или

(4.302)

Здесь обозначено

(4.303)

а определяется выражением (4.298). Как видно из (4.298),

(4.304)

где означает «для всех».

Функция ρ(K) (4.302) будет неотрицательна и конечна, если

(4.305)

и

(4.306)

Подставляя в выражение ρ(K) (4.301) x^c(kT) из уравнения (4.297) и из очевидного тождества

(4.307)

где

(4.308)

получим

или

(4.310)

где

(4.311)

 квадратичная форма относительно . Предположим, что для всех K (K = 1, 2, 3, ...) эта квадратичная форма неотрицательна, т. е.

(4.312)

Тогда, опуская в (4.310), получим неравенство

(4.313)

Заменяя ρ(K) его значением из (4.302), получим

(4.314)

Подставляя в левую часть неравенства (4.314) вместо верхнюю границу r₀ (4.305), получим

(4.315)

Применяя к правой части неравенства (4.314) Коши  Буняковского, будем иметь

(4.316)

На основании неравенств (4.315), (4.316) неравенство (4.314) можно усилить:

(4.317)

Принимая во внимание, что в силу (4.306) левая часть неравенства (4.317) положительна, и возведя обе части неравенства (4.317) в квадрат, после очевидных сокращений получим

(4.318)

По определению исчезающих воздействий ряд их квадратов сходится, т. е.

(4.319)

Следовательно, из (4.319) получаем

(4.320)

Если суммы равномерно ограничены, то ряд сходится, и его слагаемые при стремятся к нулю, т. е.

(4.321)

Но из уравнения свободного процесса (4.298) при условии (4.321) следует, что

(4.322)

Отсюда следует вывод об абсолютной устойчивости процессов в нелинейной импульсной системе.

Условием абсолютной устойчивости процессов в нелинейных импульсных системах, как следует из изложенного, является не­равенство (4.312) при r < r₀, т. е. неотрицательность квадратич­ной формы (4.311) при r < r₀ для всех K.

Для того чтобы процессы в нелинейной импульсной системе с устойчивой импульсной частью были абсолютно устойчивыми, достаточно, чтобы квадратичная форма

(4.323)

для r < r₀, где r₀ — верхняя грань S (х^с, k), была бы не­отрицательной для всех K.

Для установления условий абсолютной устойчивости состоя­ния равновесия нелинейной импульсной системы, как это видно из уравнения свободного процесса (4.298), нужно в приведенных выше результатах положить

(4.324)

и

(4.325)

Тогда квадратичная форма (4.323) переходит в

(4.326)

и

(4.327)

Положение равновесия нелинейной импульсной системы с устойчивой импульсной частью будет абсолютно устойчивым, если квадратичная форма (4.326) для r < r₀, где r₀ — верхняя грань S(x^c) (4.327), неотрицательна для всех K.

Установленные выше условия устойчивости процессов и состояния равновесия трудно использовать, так как они требуют проверки бесконечного числа неравенств.

Перейдем к установлению на основе этих условий критериев абсолютной устойчивости, которые удобно было бы применять при конкретных исследованиях.