4.11.3. Возможные процессы

Если положить в уравнении вынужденного процесса (4.281)

(4.283)

то мы получим уравнения, определяющие возможные стационарные состояния нелинейной импульсной системы при отсутствии внешнего воздействия. Обозначив эти стационарные состояния х^ст(kТ), получаем из (4.282) при условии (4.283) уравнение стационарных состояний:

(4.284)

Стационарные состояния могут соответствовать положениям равновесия системы либо периодическим процессам, но в отли­чие от нелинейных непрерывных систем, где период этих процес­сов может быть, вообще говоря, любым, в нелинейных импульс­ных системах периодические процессы имеют период, всегда кратный периоду повторения импульсного элемента. Эти процес­сы нельзя назвать автономными, так как им­пульсная система даже при отсутствии внешних воздействий не является автономной из-за наличия импульсного элемента. По­этому такие процессы, строго говоря, не являются автоколебаниями. Это обстоятельство объясняет сложность процессов, ко­торые могут возникать в нелинейной импульсной системе. По­этому далее мы ограничимся исследованием только периодиче­ских процессов.

4.11.4. Влияние квантования по уровню

Общие свойства процессов в непрерывных системах, рассмо­тренные ранее, остаются справедливыми и для импульсных си­стем. Поэтому здесь мы не будем повторяться и подробнее рас­смотрим влияние квантования по уровню  нелинейности, спе­цифической для цифровых автоматических систем. Квантование

Рис. 4.30. Квантование сигналов

по уровню соответствует операции округления, и характеристика квантования имеет вид, показанный на рис. 4.30, а, где  шаг квантования. Эту характеристику Ф(x) можно представить в виде суммы линейной характеристики х (рис. 4.30, б) и нелинейной ограниченной характеристики δФ(х) (рис. 4.30, в):

(4.285)

где δФ(х) такова, что

(4.286)

Рис. 4.31. Структура квантователя

Поэтому нелинейный элемент типа квантователя по уровню (рис. 4.31, а), можно представить в виде параллельного соединения линейного элемента и нелинейного элемента δФ(х) с ограниченной характеристикой (рис. 4.31, б) либо в виде линейного элемента, к которому приложено воздействие f_ш, характеризующее шумы квантования:

(4.287)

(рис. 4.31, в). Пользуясь таким представлением квантователя по уровню, цифровую автоматическую систему (рис. 4.31) можно привести к линейной импульсной системе с дополнительным воздействием вида шумов квантования (рис. 4.32).

Рис. 4.32. Линейная система с дополнительным воздействием

Передаточная функция замкнутой линейной импульсной системы

Следовательно, уравнение ее относительно изображения выходной величины запишется в виде

(4.288)

где

(4.289)

На основании теоремы свертывания из (4.288) получаем уравнение относительно оригиналов – решетчатых функций:

(4.290)

Назовем импульсную систему предельной при стремлении шага квантования к нулю. Предельная импульсная система соответствует линейной системе при отсутствии воздействия шума квантования; ее уравнение:

(4.291)

Обозначая через

эффект, вызываемый квантованием по уровню, находим, вычитая из уравнения (4.290) уравнение (4.291),

Оценим . Очевидно,

(4.292)

Но в силу (4.286) и (4.287)

Поэтому неравенство (4.292) можно усилить, как за счет замены в правой части, так и за счет увеличения верх­него предела суммирования k до ∞. Таким образом, получим

Для устойчивых линейных импульсных систем, как следует из определения устойчивости,

(4.293)

где С — податливость системы, и, значит, верхняя граница всегда будет меньше некоторой фиксированной вели­чины, а именно

Таким образом, наибольшее отклонение процесса, вызываемое квантованием по уровню, не превосходит произведения податливо­сти системы на половинy шага квантования.

Рассмотрим частный случай. Пусть предельная линейная импульсная система апериодична, т. е.

Тогда, учитывая (4.293), имеем

и, значит,

Но при p=0

Следовательно,

Для апериодической предельной системы наибольшее отклонение процесса, вызываемое квантованием по уровню, не превосходит половины шага квантования.

Чем более податлива предельная система, т. е. чем больше величина С, тем больше верхняя граница отклонения предела, вызываемого квантованием по уровню.