4.11. Процессы в нелинейных импульсных системах

4.11.1. Построение процессов

Рассмотрим нелинейную импульсную систему (рис. 4.29), к входу которой приложено в момент t = тТ = 0 произвольное внешнее воздействие f(mT). Предположим, что импульсная

Рис. 4.29. Структура нелинейной импульсной системы

характеристика линейной импульсной части удовлетворяет ус­ловию

(4.269)

Тогда суммарное уравнение нелинейной импульсной системы запишется в виде

(4.270)

Это суммарное уравнение можно рассматривать как рекуррентное соотношение, позволяющее последовательно вычислить про­цесс в нелинейной импульсной системе. В развернутой форме (4.270) представится в виде совокупности уравнений:

Из этих уравнений наглядно видна возможность последователь­ного вычисления процесса х(kТ), k = 0, 1, 2, ..., по заданным f(kT), g(kT) и Ф(х(kТ)). Некоторое неудобство рекуррент­ного соотношения (4.270) состоит в том, что с ростом k число слагаемых неограниченно возрастает. Для того чтобы освободиться от этого, воспользуемся уравнением нелинейной импульсной системы относительно изображений:

(4.272)

где

или в развернутой форме при выполнении условия (4.269)

(4.273)

При этом порядок W*(р) отличен от 0. Умножая числитель и знаменатель (4.273) на е^−pnT, запишем W*(р) в виде

(4.274)

Подставляя W*(р) (4.274) в (4.272) и освобождаясь в полученном уравнении от знаменателя, запишем (4.272) в таком виде:

Переходя в (4.275) от изображений к оригиналам на основании теорем линейности и запаздывания, получим

(4.276)

где х((k  п)Т), f ((k  п)Т) при k < п следует полагать равными нулю.

Таким образом, из (4.276) получим:

для k ≤ n

и для k ≥ n

Эти рекуррентные соотношения содержат конечное число слагаемых, не превышающее 3n+1, где п  порядок передаточной функции линейной части импульсной системы. Таким образом, в отличие от нелинейных непрерывных систем, в нелинейных импульсных системах при заданном внешнем воздействии принципиально всегда может быть построен процесс, вызванный этим воздействием.

Этот факт будет иметь важное значение при цифровом моделировании непрерывных систем.

4.11.2. Вынужденные и свободные процессы

Назовем вынужденным процесс х_в(kТ), вызываемый внешним ограниченным воздействием, приложенным в момент времени, отстоящий от момента наблюдения на бесконечно большой интервал времени. Предположим, что внешнее воздействие приложено к системе в момент времени t = k₀, тогда по­ведение этой системы будет описываться суммарным уравнением вида

(4.279)

Устремляя в (4.279) k₀ к ∞, получаем уравнение вынужденного процесса:

(4.280)

или, после замены (k – r) на s и, значит, r на (k – s)

(4.281)

Свободный процесс х^c(kТ) определяется разностью между общим процессом х(kТ) и вынужденным процессом х_в(kТ), т. е.

Полагая в уравнении (4.270)

где – исчезающее внешнее воздействие, характеризующее ненулевое состояние импульсной системы в момент приложения внешнего воздействия, вычитая из него уравнение вынужденного процесса (4.281), получаем уравнение свободного процесса:

(4.282)

В этом уравнении

– воздействие, которое наряду с вызывает свободный процесс.

Свободный процесс вызывается как самим фактом прило­жения внешнего воздействия, так и ненулевым начальным состоянием.