4.10. Управляемость, достижимость и наблюдаемость

Данный раздел посвящен рассмотрению двух фундаментальных свойств динамических систем. Первое связано с возможностью перевести систему из заданного начального состояния в любое другое, второе  с возможностью определить состояние динамической системы по наблюдаемым входам и выходам. Оба этих свойства были сформулированы и продемонстрированы Калманом, который также ввел понятия управляемости и наблюдаемости для одномерных и многомерных систем.

Управляемость и достижимость

Рассмотрим систему

(4.264)

Предположим, что задано ее начальное состояние х(0). Тогда состояние системы в момент времени n (здесь n − порядок системы) определяется соотношением

(4.265)

где

Если W_c имеет ранг n, то можно найти n уравнений, решением которых является такой управляющий сигнал, что из начального состояния система перейдет в желаемое конечное состояние x(n).

Заметим, что такое решение неединственное, если существует более одного входного сигнала.

Определение управляемости. Система (4.264) управляема, если существует управляющая последовательность, переводящая систему из любого начального состояния в начало координат за конечное время.

С управляемостью тесно связано понятие достижимости.

Определение достижимости. Система достижима, если существует управляющая последовательность, переводящая систему из любого начального состояния в произвольное состояние за конечное время.

Управляемость не означает достижимость, что следует из уравнения (4.265). Если ⁿx(0) = 0, то нулевое состояние получается при нулевом входе, но система необязательно достижима. Однако эти понятия эквивалентны, если матрица Ф обратима.

Из определения достижимости следует приводимая ниже теорема, которая проверяется непосредственно.

Теорема. Система (4.264) достижима тогда и только тогда, когда матрица W_c имеет ранг n.

Заметим, что матрицу W_c обычно называют матрицей управляемости по аналогии с непрерывными системами.

В качестве примера рассмотрим систему

Можно ли найти такую управляющую последовательность, что x^T(2) = [0,5; 1]? Из уравнения (4.265) следует, что

или

Отсюда получаем, что

Следовательно, одна допустимая управляющая последовательность существует: u(0) = 2 и u(1) = 2. Предположим теперь, что x^T(2) = [0,5; 1]. Соответствующая система уравнений

не имеет решения, поскольку система недостижима. Матрица управляемости имеет следующий вид:

Из начала координат, возможно достичь только тех точек в пространстве состояний, которые принадлежат подпространству, натянутому на вектор [0,5; 1]^T. В примере достижимы и другие точки из-за влияния начального значения.

Предположим, что с помощью невырожденной матрицы преобразования Т введены новые координаты. В этих координатах

(4.266)

Если W_c имеет ранг n, то и W_c будет такого же ранга. Это означает, что достижимость системы не зависит от выбора системы координат.

Заметим, что формула, связывающая W_c и , полезна для вычисления матрицы преобразования, переводящей систему из одной формы в другую.

Управляющую форму можно получить, при условии что приведенная матрица имеет обратную матрицу.

Наблюдаемость

Для решения проблемы отыскания состояния системы по ее выходу вводится понятие ненаблюдаемых состояний.

Определение. Состояние x⁰  0 ненаблюдаемо, если существует конечное k₁  n  1, такое что y(k) = 0 для 0  k  k₁ при x(0) = x⁰ и u(k) = 0 для 0  k  k₁.

Система (4.264) наблюдаема, если существует такое конечное k, что значения входов u(0), …, u(k1) и выходов y(0), …, y(k1) достаточно для определения ее начального состояния.

Рассмотрим систему (4.264). Всегда можно определить действие известного входного сигнала. Поэтому общность решения не пострадает, если предположить, что u(k) = 0. Допустим, что даны y(0), y(1), …, y(n1). Можно записать следующую систему уравнений:

Используя векторную запись, получаем

(4.267)

Состояние х(0) можно получить из (4.267) тогда и только тогда, когда матрица наблюдаемости

(4.268)

имеет ранг n. Состояние х(0) ненаблюдаемо, если принадлежит нуль-пространству W₀. Если два состояния ненаблюдаемы, то их линейная комбинация также ненаблюдаема. Следовательно, ненаблюдаемые состояния образуют линейное подпространство.

Теорема. Система (4.264) наблюдаема тогда и только тогда, когда W₀ имеет ранг n.

Такой способ определения наблюдаемости эквивалентен методу для непрерывных систем. Легко показать, что матрица наблюдаемости, так же как и матрица управляемости, не зависит от выбора системы координат.

В качестве примера рассмотрим систему

;

.

Матрица наблюдаемости имеет вид

.

Ранг матрицы W₀ равен 1 и наблюдаемые состояния принадлежат нуль-пространству W₀ , т.е. [0,5 1]. На рис. 4.28 показаны выходы для четырех различных состояний: все начальные состояния, лежащие на линии, параллельной [0,5 1], дают одинаковый выход (рис. 4.28, а, б, в и г).

Рис. 4.28. Выход системы при начальных условиях: а  [0,5 1];

б  [1,5 0,5]; в  [2,5 0]; г  [1 −0,5]