4.9.3. Робастность

Интерес представляет метод определения чувствительности системы к возмущениям, которые могут иметь место вследствие допусков в ее компонентах. Так как проектирование систем управления основывается на упрощенных моделях, то необходимо также знать, как можно уточнить модель при ее реализации.

Рассмотрим простейшую замкнутую систему, изображенную на рис. 4.24. Пусть H⁰(z)  реальная импульсная передаточная функция разомкнутой системы, а H(z)  ее номинальное значение. В данном случае для устойчивости замкнутой системы важна близость H и H⁰. Импульсная передаточная функция замкнутой системы имеет вид

(4.259)

Тогда полюса замкнутой системы совпадают с корнями функции

Если

(4.260)

на единичной окружности, то из принципа вариации аргумента следует, что разности между количеством полюсов и нулей вне единичного круга для функций (1 + H) и (1 + H⁰) одинаковы.

Теорема. Рассмотрим замкнутые системы S и S⁰, полученные из систем с импульсными передаточными функциями H и H⁰ соответственно путем включения в них отрицательной обратной связи с единичным усилением. Система S⁰ устойчива, если выполняются следующие условия:

• S  устойчива;

• H и H⁰ имеют одинаковое количество полюсов вне единичного круга;

• неравенство (4.260) выполняется для | z | = 1.

Из теоремы следует, что для проектирования регулятора для системы важно знать число неустойчивых состояний. Кроме того, неравенство (4.260) определяет область частот, для которой требуется хорошее описание процесса. В частности, требования к точности незначительны для частот, на которых усиление велико. Высокая точность необходима для частот, где H⁰(z)  1.

Полученный вывод тесно связан с результатом, который позволяет взглянуть на проблему с иной точки зрения. Импульсную передаточную функцию замкнутой системы (4.259) также можно записать в виде

тогда полюса замкнутой системы совпадают с корнями функции

Из принципа вариации аргумента следует, что разности между количеством нулей и полюсов функций (1 + 1/H⁰) и (1 + 1/H) вне единичного круга одинаковы, если

(4.261)

на единичной окружности.

Из теоремы вытекают правила проектирования систем с обратной связью по приближенным или неточным моделям:

• важно знать число неустойчивых полюсов и нулей;

• необязательно иметь точную модель для частот, на которых усилением цепи можно сделать большим;

• необходимо минимизировать усиление на частотах, для которых модель неточна;

• необходимо, чтобы модель точно описывала систему на частотах, для которых H⁰(z)  −1.

4.9.4. Второй метод Ляпунова

Для определения устойчивости нелинейных динамических систем полезным инструментом является второй метод Ляпунова. Ляпунов разработал свой метод для дифференциальных уравнений, но аналогичные выводы могут быть получены и для разностных уравнений.

Определение функции Ляпунова. V(x) является функцией Ляпунова для системы

(4.262)

если

1. V(x) непрерывна по x и V(0);

2. V(x) положительно определена;

3. V(x) = V(f(x))  V(x) отрицательно определена.

Простая геометрическая иллюстрация определения приведена на рис. 4.27. Линиями уровня положительной функции V являются замкнутые кривые, окружающие начало координат; при этом каждой линии соответствует определенное значение функции. Согласно условию 3, динамика системы такова, что решение всегда перемещается в направлении линий с меньшим значением функции. Все линии уровня охватывают начало координат и не пересекаются с линиями другого уровня. Таким образом, кажется разумным, что существование функции Ляпунова обеспечивает асимптотическую устойчивость.

Рис. 4.27. Геометрическая иллюстрация теоремы Ляпунова

Теорема устойчивости Ляпунова. Решение x(k) = 0 асимптотически устойчиво, если для системы (4.262) существует функция Ляпунова. Кроме того, если

,

где (|| x||)   при || x||  , то решение асимптотически устойчиво для любых начальных условий.

Главная трудность, возникающая при использовании теоремы Ляпунова, состоит в построении подходящей функции Ляпунова. Обычно это очень сложная задача; однако для линейной системы (4.262) легко построить квадратичную функцию Ляпунова. Ее приращение равно

Для того чтобы V была функцией Ляпунова, необходимо и достаточно, чтобы существовала положительно определенная матрица Р, удовлетворяющая уравнению

(4.263)

где Q  положительно определенная матрица.

Уравнение (4.263) называют уравнением Ляпунова. Можно показать, что оно всегда имеет решение, если линейная система устойчива. Матрица Р положительно определена, если Q также положительно определена.