4.9. Устойчивость дискретных систем

4.9.1. Условия устойчивости

Рассмотрим дискретное уравнение движения в терминах пространства состояний (возможно нелинейное и нестационарное)

. (4.253)

Пусть x⁰(k) и x(k)  решения (4.253) при начальных условиях x⁰(k₀) и x(k₀) соответственно. В дальнейшем через |||| будем обозначать норму.

Определение устойчивости. Решение x⁰(k) yравнения (4.253) устойчиво, если для заданного  > 0 существует (, k₀), такое что для всех решений, удовлетворяющих условию ||x(k₀)  x⁰(k₀)|| < , ||x(k)  x⁰(k)|| <  для всех k  k₀.

Определение асимптотической устойчивости. Решение x⁰(k) уравнения (4.253) асимптотически устойчиво, если оно устойчиво и если ||x(k)  x⁰(k)||  0 при k  , при условии что ||x(k₀)  x⁰(k₀)|| достаточно мало.

Из определения следует, что устойчивость, вообще говоря, определяется для конкретного решения, а не для системы в целом.

Устойчивость линейной дискретной системы. Рассмотрим линейную систему:

. (4.254)

Чтобы исследовать устойчивость решения уравнения (4.254), изменим начальные условия. Тогда

Разность удовлетворяет уравнению

. (4.255)

Это значит, что если решение x⁰ устойчиво, то каждое другое решение также устойчиво. Таким образом, для линейных стационарных систем устойчивость  свойство системы, а не конкретного решения.

Система (4.255) имеет решение

Если матрицу Ф можно привести к диагональному виду, то решение есть линейная комбинация , где _i, i = 1, …, n  собственные значения Ф. В общем случае, когда диагонализация Ф невозможна, решение представляет собой линейную комбинацию , где p_i(k)  многочлен от k порядка на единицу меньшего кратности соответствующего собственного значения. Для достижения асимптотической устойчивости все решения должны стремиться к нулю при k  . В этом случае собственные значения матрицы Ф обладают следующим свойством:

Выше была определена устойчивость по отношению к возмущению начальных условий. Однако возможны и другие понятия устойчивости.

Определение ВІВО-устойчивости. Линейная стационарная система ВІВО-устойчива, если ограниченный вход вызывает ограниченный выход при любых начальных условиях.

Из определения следует, что асимптотическая устойчивость самое сильное условие, т. е. справедлива следующая теорема.

Если система асимптотически устойчива, то она также устойчива и ВІВО-устойчива.

В дальнейшем под устойчивостью будет подразумеваться асимптотическая устойчивость.

Можно привести примеры, показывающие, что устойчивость не вызывает ВІВО-устойчивости, и наоборот.

4.9.2. Критерии устойчивости

Для определения устойчивости дискретных систем существуют различные методы, в том числе:

• непосредственное вычисление собственных значений матрицы Ф;

• методы, основанные на свойствах характеристического многочлена;

• метод корневого годографа;

• критерий Найквиста;

• метод Ляпунова.

Из теоремы асимптотической устойчивости линейной системы следует, что непосредственно проверку устойчивости данной системы можно осуществить путем вычисления собственных значений матрицы Ф. Для этого существуют хорошие численные алгоритмы. Они, например, неплохо реализованы в пакете EISPACK, MatLab, который имеется во многих вычислительных центрах. Однако вычислять вручную собственные значения для систем порядка более двух неудобно; кроме того, этот метод нельзя применять, когда матрица имеет параметры в своих коэффициентах.

В ряде случаев проще вычислить характеристический многочлен

(4.256)

и исследовать характеристическое уравнение

. (4.257)

Было показано, что характеристический многочлен есть знаменатель импульсной передаточной функции. Проверка устойчивости может осуществляться путем исследования единичного круга.

Одним из методов, позволяющих определить, располагаются ли все корни многочлена в левой полуплоскости, является критерий Рауса-Гурвица. Преобразование Мебиуса  = (z + 1)/(z  1) отображает единичный круг на z-плоскости в левую половину -плоскости. Преобразование может быть применено к (4.257), после чего можно использовать критерий Рауса-Гурвица.

Полезно знать условия, непосредственно определяющие положение корней многочлена относительно единичного круга. Такой критерий, эквивалентный критерию Рауса-Гурвица, был предложен Шуром, Кохом и Джури.

Задача вычисления коэффициентов характеристического многочлена по элементам матрицы плохо обусловлена, поэтому предпочтительнее непосредственно определить ее собственные значения, чем решать характеристическое уравнение.

Для дискретных систем можно использовать и хорошо известный метод корневого годографа. Границы устойчивости в этом случае меняются от мнимой оси к единичной окружности, а эмпирические правила вычерчивания корневого годографа такие же. Метод корневого годографа и критерий Найквиста используют при определении устойчивости замкнутой системы, если известны характеристики разомкнутой.

Критерий Джури

Чтобы определить, все ли корни многочлена (4.257) находятся внутри единичного круга, составляют следующую таблицу:

…
,

где

Первая и вторая строки  это коэффициенты из (4.257) в прямом и обратном порядке. Третья строка получается умножением второй строки на a_n = a_n/a₀ и вычитанием произведения из первой строки; таким образом, последний элемент в третьей строке равен нулю. Четвертая строка  это третья, записанная в обратном порядке. Схема повторяется до (2n + 1)-й строки. Последняя строка состоит только из одного элемента.

Теорема устойчивости Джури. Если a₀ > 0, то все корни уравнения (4.257) лежат внутри единичного круга тогда и только тогда, когда все a₀^k, k = 0, 1, …, n  1 положительны. Если нет a₀^k, равных нулю, то количество отрицательных a₀^k равно количеству корней вне единичного круга.

Заметим, что если все a₀^k положительны для k = 1, 2, …, n  1, то можно показать, что условие a₀⁰ > 0 эквивалентно условиям:

A(1) > 0;

(1)ⁿA(1) > 0,

которые составляют необходимые условия устойчивости и, следовательно, могут использоваться для составления таблицы.

Пусть в качестве примера задано следующее характеристическое уравнение:

В этом случае таблица Джури имеет вид

Все корни уравнения находятся внутри единичной окружности, если

Отсюда условия устойчивости определяются как

;

;

.

Область устойчивости для уравнения второго порядка показана на рис. 4.23.

Рис. 4.23. Область устойчивости для уравнения второго порядка

как функция коэффициентов а₁ и а₂

Процесс с временной задержкой описывается характеристическим уравнением

где h  период квантования. Система устойчива, так как exp(h) < 1.

Модель имеет характеристическое уравнение

.

Такая модель устойчива, но не асимптотически, так как характеристическое уравнение имеет корень z = 1.

Критерий Найквиста. Одним из хорошо известных методов определения устойчивости непрерывных систем является критерий Найквиста, основанный на принципе вариации аргументов. Однако этот критерий легко сформулировать и для дискретных систем. Особенно он эффективен при определении устойчивости замкнутой системы, если задана разомкнутая.

Рассмотрим дискретную систему, изображенную на рис. 4.24. Замкнутая система имеет импульсную передаточную функцию

и характеристическое уравнение вида

(4.258)

Рис. 4.24. Простейшая система с обратной связью

Устойчивость замкнутой системы можно исследовать по диаграмме Найквиста для H₀(z). Для дискретных систем областью устойчивости на z-плоскости является единичный круг, а не левая полуплоскость. На рис. 4.25 показан контур Г_с, охватывающий область вне единичного круга. Небольшая выемка в точке z = 1 сделана с целью исключения интеграторов в разомкнутой системе. Бесконечно малые полуокружности в точке z = 1 при уменьшении аргумента от /2 до /2 отображаются на H₀(z)-плоскость как бесконечно большая окружность от n/2 до n/2 (где n  количество интеграторов в разомкнутой системе). Если на единичной окружности имеются полюса кроме z = 1, то все они должны быть исключены маленькими полуокружностями так же, как в точке z = 1. Отображение единичной окружности  это H₀(e^i), где   (0,2).

Устойчивость замкнутой системы теперь можно определить, исследовав, как контур Г_с отображается функцией H₀(z). Отображение H₀(e^i) при изменении аргумента от 0 до  называют частотной характеристикой или диаграммой Найквиста системы. Согласно принципу вариации аргументов, количество обходов N точки (-1, 0) в положительном направлении отображением Г_с равно

где Z и Р  количество нулей и полюсов функции 1 + H₀(z) вне единичного круга соответственно. Отметим, что если разомкнутая система устойчива, то Р = 0 и, следовательно, N = Z.

Таким образом, устойчивость замкнутой системы гарантирована, если отображение Г_с не охватывает точку (−1, 0). Если H(z)  0 при z  , параллельные линии ІІІ и V не влияют на критерий устойчивости. Важно найти отображение единичной окружности и маленьких полуокружностей в z = 1. Критерий Найквиста в дальнейшем можно упростить, если разомкнутая система и обратная ей устойчивы. В этом случае замкнутая система устойчива, если точка (−1, 0) на H₀(z)-плоскости находится слева от отображения H₀(e^i) для   (0, ), т.е. слева от диаграммы Найквиста.

Рис. 4.25. Контур Г_с, охватывающий область вне единичного круга

В качестве примера рассмотрим систему с периодом квантования h = 1 и импульсной передаточной функцией

тогда

Отображение Г_с показано на рис. 4.26: сплошная линия  это диаграмма Найквиста, т. е. отображение H₀(e^i) при изменении  от 0 до . Как следует из рисунка, диаграмма Найквиста пересекает отрицательную действительную полуось в точке  0,4. Таким образом, замкнутая система устойчива, если K < 2.

Критерий Найквиста до сих пор применялся только к дискретным системам общего вида. Теперь предположим, что импульсная передаточная функция получена квантованием непрерывной системы W(p), ко входу которой подсоединено квантующее устройство приближения нулевого порядка с периодом квантования T. В этом случае критерий устойчивости вытекает из

где

Рис. 4.26. Отображение Г_с на H₀(z)-плоскость для системы,

описанной в примере, при K = 1

Если имеются числовые значения W(i), то с помощью приведенного разложения в ряд можно определить значения импульсной передаточной функции на единичной окружности. Во многих приложениях |W(i)| уменьшается при увеличении . Тогда доминирующим становится член с k = 0, роль которого особенно ощутима, если W(p) включает эффективный фильтр поглощенных частот. Это означает, что необходимо знать поведение W(p) вплоть до частоты Найквиста.

Недостатком данного критерия является сложность вычерчивания диаграммы Найквиста. Однако применение ЭВМ позволяет значительно упростить вычисление устойчивости замкнутой системы.

- 16 -