4.8.2. Уравнения состояния цифровых систем, содержащих только цифровые элементы

Если цифровая система состоит полностью из цифровых элементов, а на ее входе и выходе присутствуют только цифровые сигналы, эта система может быть описана следующими дискретными уравнениями динамики:

(4.171)

(4.172)

где A(k), B(k), D(k) и E(k)  матрицы коэффициентов с нестационарными элементами. Значения этих элементов могут изменяться только в дискретные моменты k = 0, 1, 2, … .

На практике уравнения динамики (4.165) и (4.171) могут описывать дискретную систему, в которой k обозначает «шаги» или «последовательность событий». Поэтому дискретное время не всегда должно быть независимой переменной в уравнениях динамики.

4.8.3. Переходные уравнения состояния цифровых систем

Нестационарные системы. Поскольку дискретные уравнения состояния (4.162), (4.165), (4.168) и (4.171), по существу, имеют одинаковую форму, очевидно, что их решения также должны быть подобны. Однако прежде чем приступить к решению дискретных уравнений состояния, следует подчеркнуть сходство и различие между непрерывными и дискретными уравнениями состояния. Заметим, что решение непрерывного уравнения состояния, описываемое выражением (4.14), справедливо для любых t и t₀, если Ф(t, t₀)  невырожденная матрица. Другими словами, решение справедливо как для t  t₀, так и для t  t₀. Это означает, что изменение состояния непрерывного процесса может происходить в прямом и в обратном времени. Можно показать, что дискретные уравнения состояния (4.162), (4.165) и (4.168) также двунаправлены по k, если (k+1, k)  невырожденная матрица. Исходно эти уравнения состояния определены в прямом времени, поскольку они получены путем замены t₀ = kT и t = (k + 1)Т в переходных уравнениях состояния непрерывной системы.

Существует, по крайней мере, два способа перехода к обратному времени в дискретных уравнениях состояния. Если переходная матрица состояния Ф(k+1, k) невырождена, то, применяя обозначения, используемые в (4.165), можно записать уравнение состояния в виде

(4.173)

Используя свойства матрицы , получаем

(4.174)

где

(4.175)

Выражение (4.174) можно рассматривать как уравнение, описывающее изменение состояния на интервале от k + 1 до k, где u(k)  вектор входа с постоянными элементами на протяжении этого интервала.

Другой способ состоит в замене t₀ = k +1 и t = k при u() = u(k), что приводит к тому же результату (4.174). Чтобы изменение состояния было двунаправлено по k, в общем случае матрица Ф(k+1, k) должна быть невырожденной.

Поскольку уравнения состояния (4.162), (4.165) и (4.168) получены в результате применения операции квантования и фиксации к переходному уравнению состояния непрерывной системы, переходная матрица состояния Ф(k+1, k) всегда невырождена, если матрица A(t) в исходном дифференциальном уравнении непрерывна и конечна.

Дискретные уравнения состояния (4.171) приводят к другой проблеме, поскольку в принципе не существует физических ограничений на элементы матриц A(k) и B(k). Поэтому, пока матрица A(k) не будет невырожденной для всех k, уравнение состояния (4.171) можно решать только в прямом времени. Если матрица A(k) невырождена для k  j, то

(4.176)

для k = 0, 1, 2, …, j.

Покажем теперь, что дискретное уравнение состояния может быть решено с помощью итерационной процедуры. Рассмотрим уравнение состояния в форме (4.171) вследствие более простых обозначений, но учтем, что искомое решение полностью удовлетворяет любой форме дискретных уравнений состояния, если заменить матрицы A(k) на Ф(k+1, k), на Q(k+1, k) и т. д. Перепишем общее выражение (4.171):

(4.177)

Для последовательных итераций получим:

(4.178)

(4.179)

(4.180)

Положим

(4.181)

для

и для N = i + 1. (4.182)

С использованием этих обозначений выражение (4.180) можно записать в виде

(4.183)

что и является искомым решением уравнения (4.177) для всех x(N), N  0, данного начального состояния х(0) и входа u(і).

Аргумент в выражении (4.183) можно сдвинуть вперед на любое положительное целое М, т. е.

(4.184)

Теперь, полагая k = N + М, получим

(4.185)

где

(4.186)

В общем случае можно записать уравнение состояния в виде:

(4.187)

а переходное уравнение состояния в виде

(4.188)

где

(4.189)

В этом случае интервалы между k_j и k_j+1 не обязательно постоянны и k_j может обозначать дискретное время или шаг.

Матрицу (k_j, k₀) размерностью п  п называют переходной матрицей состояния для матрицы A(k_j), и она удовлетворяет однородному уравнению состояния

(4.190)

для j  0. Таким образом, справедливо следующее соотношение:

(4.191)

Свойства переходной матрицы состояния (k_j, k₀). Подобно непрерывным системам переходная матрица состояния (k_j, k₀) имеет следующие свойства, важные для анализа цифровых систем:

1. для всех шагов i, j, m, (4.192)

если матрица A(k) невырождена для всех k, лежащих между min(i, j, m) и max(i, j, m). Если матрица A(k) вырождена для k  p, то равенство (4.192) справедливо только для max(i, j, m) < p.

Чтобы переходный процесс состояния мог развиваться в обоих направлениях, необходимо существование матрицы A⁻¹(k), поскольку i, j и m  произвольные числа. Если А(k)  вырожденная матрица для k  p, то можно записать

(4.193)

для .

2. (4.194)

Это свойство следует непосредственно из определения (4.186) матрицы (k, M).

3. для всех i, j, (4.195)

если A(k)  невырожденная матрица для