4.8. Метод пространства состояний

В широком смысле метод пространства состояний, по крайней мере при изучении цифровых систем управления, имеет следующие преимущества перед традиционным частотным методом:

− описание в пространстве состояний;

− является естественным и удобным для решения задач на ЭВМ;

− позволяет унифицировать описание цифровых систем с различными типами квантования и одномерных и многомерных систем;

− может применяться к некоторым типам нелинейных и нестационарных систем.

В пространстве состояний непрерывная система описывается системой дифференциальных уравнений первого порядка. Для цифровых систем, содержащих только дискретные элементы, уравнения состояния  разностные уравнения первого порядка. Как уже говорилось, цифровая система может содержать аналоговые и цифровые элементы, и, следовательно, уравнения состояния в общем случае будут состоять одновременно из дифференциальных и разностных уравнений первого порядка. Однако не должно складываться впечатление, что использование метода пространства состояний для анализа и синтеза систем управления всегда имеет очевидные преимущества. Достоинство хорошо известного частотного метода состоит в его компактности, и большое число задач проектирования реальных систем управления по-прежнему решается с использованием методов синтеза, основанных на определении передаточной функции.

4.8.1. Уравнения состояния цифровых систем с квантованием и фиксацией

Предположим, что динамика состояния линейной системы с дискретным входом характеризуется нестационарными уравнениями состояния. Поскольку входы системы постоянны на интервале квантования Т, входной вектор и может быть вынесен за знак интеграла.

(4.161)

где t₀ = kT и kT  t  (k+1)T.

Выражение (4.161) описывает состояния в течение интервала квантования kT  t  (k+1)T. После дальнейшего преобразования его можно использовать и для описания изменения состояний цифровой системы непосредственно с момента квантования. Полагая в (4.161)

t₀ = kT и t = (k + 1)T, получим

(4.162)

для kT  t  (k+1)T, где

. (4.163)

Следует заметить, что, хотя u(kT) является постоянной величиной только на интервале от kT до (k+1)T, решение (4.270) справедливо для всего интервала квантования, включая t = (k+1)T, поскольку x(t) есть непрерывная функция времени t.

Выражение (4.162) представляет собой дискретное уравнение состояния цифровой системы, изображенной на рис. 4.21. Однако оно описывает динамику состояния только в моменты квантования. Другими словами, при замене t₀ = kT и t = (k + 1)Т в формуле (4.161) теряется вся информация о поведении системы между моментами квантования.

По аналогии дискретизация уравнения выхода осуществляется

заменой t = kT:

. (4.164)