2.3. Симплексний метод

Розглядаємо для простішого випадку моделі (2.3) ; (2.4) коли в системі умов (2.4) маємо тільки нерівності із знаком ≤ (інакше, метод ускладнюється і

необхідно вводити штучний базис).

Алгоритм:

1. Перевіряємо правих частин обмежень. Якщо ж вони від’ємні то помножаємо їх на 1.

2. Вводимо додаткові невідомі і з їх допомогою цільову функцію та всі обмеження у вигляді рівностей.

3. Заповнюємо симплекс таблицю.

Табл. 2.1. Симплекс таблиця

Базис	План	Х1	Х2	…	Хn

1). У стовпчик «Базис» записуємо назву цільової функції z та назви усіх додаткових змінних.

2). У стовпчик «План» записуємо праві частини обмежень та const з цільової функції.

3). Якщо в системі (3.4) були рівності або нерівності з знаком ≥, то на такому кроці вводять штучний базис.

4). При пошуці max(min) функції z План буде оптимальний, якщо усі числа в рядку z , що відповідають змінним Х₁ … Х_n – є невід’ємними(недодатніми). Якщо План оптимальний то обчислення припиняємо і значення оптимального плану знаходяться в стовпчику «План».

Якщо в оптимальній симплекс таблиці в ряду z для вільних невідомих маємо хоча б один 0 то задача має багато розв’язків.

5). Якщо план не оптимальний то серед коефіцієнтів,що порушують оптимальність обираємо найбільший за модулем він визначатиме ведучий стовбець, а також змінну яка буде величина в новий базис наступної симплекс таблиці.

6). Для визначення ведучого рядка обчислюємо відношення елементів стовпчика «План» до відповідного елемента ведучого стовпця. Тільки для

додатних елементів ведучого стовпця.

Серед усіх відношень обираємо мінімальне яке і визначатиме ведучий рядок.

На перетині ведучого рядка і ведучого стовпця маємо ведучий елемент.

Якщо у ведучому стовпці немає додатних елементів то цільова функція необмежена.

7). Будуємо нову симплекс таблицю в ній спочатку вносимо в базис змінну у ведучого стовпця. Відповідний їй рядок одержуємо поділивши елементи ведучого рядка на ведучий елемент. Для решти рядків використовуємо цей рядок обираючи з нього відповідний елемент помножаючи його на елемент ведучого стовпця з протилежним знаком та додаючи до старого значення цього елемента. Одержану таблицю знову перевіряємо на оптимальність.

2.4. Розв’язок задачі в MathCad

1. 14≥0

3≥0

10≥0

Обов’язкова умова виконується.

2. z-5x₁+15x₂+6х₃=0

2x₁+9x₂+x₃+ x₄=14

-5x₁-4x₂+7x₃+ x₅ =3

x₁+3x₂+2x₃+ x₆ =10

3) Складаємо Симплекс-таблицю для знаходження значень x₁,x_2, х₃ та функції Z(x₁,x₂, х₃): тут стрілочками вказані ведучі стовпці та рядки, а жирним шрифтом виділено ведучі елементи .

Табл. 2.2. Симплекс таблиця

Базис	План	x1	x2	x 3	x4	x5	x6
Z	0	-5	15	-6	0	0	0
x4	14	2	9	1	1	0	0
x 5	3	-5	-4	7	0	1	0
x6	10	1	3	2	0	0	1
Базис	План	x 1	x2	x3	x4	x5	x6
Z	2.57	-9.29	11.57	0	0	0.86	0
х4	13.57	2.71	9.57	0	1	-0.14	0
x3	0.43	-0.71	-0.57	1	0	0.14	0
x 6	9.14	2.43	4.14	0	0	-0.29	1
Базис	План	x1	x2	x3	x4	x 5	x6
Z	37.53	0	2.7.41	0	0	-0.24	3.82
х 4	3.35	0	4.94	0	1	0.18	-1.12
x3	3.12	0	0.65	1	0	0.0588	0.29
x1	3.76	1	1.71	0	0	-0.12	0.41
Базис	План	x1	x2	x3	x4	x5	x6
Z	42	0	34	0	1.33	0	2.33
x5	19	0	28	0	5.67	1	-6.33
x3	2	0	-1	1	-0.33	0	0.67
x1	6	1	5	0	0.67	0	-0.33

4)Систему перевіряємо в системі MathCAD за допомогою вбудованих функцій для знаходження екстремумів функцій кількох змінних.

Оскільки результати, отримані після двох способів розв’язання задачі однакові, то її розв’язано правильно.