1.8. Потужність критерію

Потужністю критерію називають ймовірність попадання критерію в критичну область, при умові, що нульова гіпотеза невірна і, слідує, що справедлива альтернативна. Іншими словами, потужність критерію є ймовірністю того, що нульова гіпотеза буде відкинута, якщо вірна альтернативна гіпотеза.

Нехай для перевірки гіпотези прийнятий визначений рівень значимості й вибірка має фіксований об’єм. Залишається свавілля при виборі критичної області. Покажемо, що її доцільно побудувати так, щоб потужність критерію була максимальною.

Попередньо переконаємося, що якщо ймовірність помилки другого роду (прийняти неправильну гіпотезу) рівна , то потужність рівна . Дійсно, якщо - ймовірність помилки другого роду, тобто подія «прийнята нульова гіпотеза, причому справедлива альтернативна», то ймовірність протилежної події «відкинута нульова гіпотеза, причому справедлива альтернативна», тобто потужність критерію рівна .

Нехай потужність зростає, тоді слідує, що зменшиться ймовірність

здійснити помилку другого роду. Таким чином, чим потужність більша, тим

ймовірність помилки другого роду менша.

Отже, якщо рівень значущості вже вибраний, то критичну область потрібно будувати так, щоб потужність критерію була максимальною. Здійснення цієї вимоги забезпечить мінімальну помилку другого роду, чого, звичайно, потрібно досягти.

1.9. Критерій згоди Пірсона

Якщо закон розподілу невідомий, то є основи припустити, що він має визначений вид (назвемо його А), то перевіряють нульову гіпотезу: генеральна сукупність розподілена за законом А.

Перевірка гіпотези про передбачуваний закон невідомого розподілу проводиться так само, як і перевірка гіпотези про параметри розподілу, тобто при допомозі спеціально підібраної величини – критерію згоди.

Критерієм згоди називають критерій перевірки гіпотези про припущений закон невідомого розподілу.

Існує кілька критеріїв згоди: («хі квадрат»), Пірсона, Колмогорова, Смирнова та інші.

Обмежимося описанням застосування критерію Пірсона до перевірки гіпотези про нормальний розподіл генеральної сукупності (критерій аналогічно застосовується для інших розподілів, в чому і виявляється його перевага). З цією метою будемо порівнювати емпіричні (спостережувані) та теоретичні (обраховані в припущенні нормального розподілу) частоти.

Зазвичай емпіричні та теоретичні частоти відрізняються. Наприклад, вони представлені так як показано в табл.1.5.

Табл.1.5. Емпіричні та теоретичні частоти.

Емпіричні частоти	13	38	74	16	85	30	10
Теоретичні частоти	14	42	82	99	76	37	11

Чи випадковим є розходження частот? Можливо, що розходження випадкове й пояснюється малим числом спостережень, чи способом їх групування, чи іншими причинами. Можливо, що розходження частот не випадкове й пояснюється тим, що теоретичні частоти пораховані, виходячи із неправильної гіпотези про нормальний розподіл генеральної сукупності.

Критерій Пірсона відповідає на поставлене вище запитання. Правда, як і будь-який критерій, він не доводить справедливості гіпотези, а лише встановлює, на прийнятому рівні значущості, її згоду чи незгоду із даними спостережень.

Отже, нехай за вибіркою об’єму n вийшов емпіричний розподіл (табл.1.6.).

Табл.1.6. Емпіричний розподіл.

Варіанти xi	x1	x2	…	xs
Емпіричні частоти ni	n1	n2	…	ns

Припустимо, що при припущенні нормального розподілу генеральної сукупності, пораховані теоретичні частоти . При рівні значимості ,

потрібно перевірити нульову гіпотезу: генеральна сукупність розподілена

нормально.

В якості критерію перевірки нульової гіпотези використаємо випадкову величину:

. (1.15)

Ця величина випадкова, так як в різних дослідах вона приймає різні, наперед невідомі значення. Зрозуміло, що чим менше відрізняються емпіричні та теоретичні частоти, тим менша величина критерію (1.15), і, відповідно, що він в відомій степені характеризує близькість емпіричного та теоретичного розподілів.

Слід відмітити, що піднесенням до квадрату різниці частот ліквідовують можливість взаємного погашення додаткових та від’ємних різниць. Діленням на досягають зменшення кожного із доданків;

у протилежному випадку сума була би настільки велика, що приводила б до відхилення нульової гіпотези навіть й тоді, коли вона справедлива. Є зрозумілим , що наведені міркування не являються основою вибраного критерію, а лише поясненням.

Доведено, що при закон розподілу випадкової величини (2.4), незалежно від того, якому закону розподілу підкоряється генеральна сукупність, прямує до закону розподілу із степенями вільності. Тому випадкова величина (2.15) позначена через , а сам критерій називають критерієм згоди «хі квадрат».

Кількість степенів свободи знаходять за рівністю: , де

– кількість груп (часткових інтервалів) вибірки;

r – кількість параметрів пропонованого розподілу, що оцінені за даними вибірки.

Зокрема, якщо запропонований розподіл – нормальний, то оцінюють два параметри (математичне очікування та квадратичне відхилення), тому r=2 й число степенів вільності: .

Оскільки односторонній критерій більш «жорстко» відкидає нульову гіпотезу, чим двосторонній,то побудуємо правосторонню критичну область.

Виходячи із вимоги, що імовірність попадання критерію в цю область, в припущенні справедливості нульової гіпотези, була рівною прийнятому рівневі значимості :

. (1.16)

Таким чином, правостороння критична область визначається нерівністю , а область прийняття нульової гіпотези – нерівністю .

Позначимо значення критерію, прораховане за даними спостережень,

через й сформулюємо правило перевірки нульової гіпотези.

Для того, щоб при заданому рівні значимості перевірити нульову гіпотезу : генеральна сукупність розподілена нормально, потрібно спочатку вирахувати теоретичні частоти, а потім спостережуване значення критерію (1.17):

. (1.17)

й по таблиці критичних точок розподілу , за заданим рівнем значимості , і числом степеней вільності , знайти критичну точку .

Якщо - то немає підстав відкидати нульову гіпотезу.

Якщо - то нульову гіпотезу відкидають.

Гістограма – це стовпчикова діаграма, що характеризує розподіл елементів по деяких інтервалах. При цьому інтервали слід обирати рівної довжини і таким чином, щоб усі елементи вектора потрапили в один із інтервалів.