1.6 Статистичний критерій та спостережуваний критерії

Для перевірки нульової гіпотези вводять певну числову характеристику, яку обчислюють на основі вибірки і на підставі якої вирішують: прийняти основну гіпотезу чи альтернативну. Зрозуміло, що вибрана числова характеристика для різних вибірок матиме, загалом кажучи, різні значення, і тому вона є випадковою величиною.

Статистичним критерієм гіпотези (або просто критерієм гіпотези) називається випадкова величина К за допомогою якої проводиться перевірка гіпотези.

Випадкову величину К вибирають такою, щоб її закон розподілу ймовірностей був відомий.

Значення випадкової величини К, обчислене на основі даних певної вибірки, називають емпіричним значенням критерію гіпотези і позначають К_емп.

Виявляється, що за одних значень К_емп гіпотеза Н₀ приймається, а за інших його значень – відхиляється.

Сукупність значень критерію К_емп за яких нульова гіпотеза Н₀ відхиляється, називається критичною областю, а сукупність значень критерію К за яких нульову гіпотезу Н₀ приймають, називається областю прийняття гіпотези.

Звідси маємо таке правило перевірки статистичних гіпотез: якщо емпіричне значення критерію К_емп належить критичній області, то нульову гіпотезу Н₀ відхиляють; якщо емпіричне значення критерію К_емп належить

області прийняття гіпотези, то нульову гіпотезу Н₀ приймають.

Якщо випадкова величина К є одновимірна, то критична область, як правило, є множиною точок певних інтервалів на прямій, які відокремлені від області прийняття гіпотези так званими критичними точками k_кр . Тобто для знаходження критичної області достатньо визначити критичні точки.

Залежно від конкуруючої гіпотези розглядають три види критичних областей:

1) Правостороння критична область – це та область на числовій прямій, що визначається нерівністю K > k_кр

2) Лівостороння критична область – це та область на числовій прямій, що визначається нерівністю K < k_кр

3) Двостороння критична область – це та область на числовій прямій, що визначається сумою інтервалів K< - k_кр і K > k_кр

Для знаходження критичної області задаються рівнем значущості і шукають критичні точки k_кр із таких співвідношень:

а) для правосторонньої критичної області:

(k_кр > 0)

б) для лівосторонньої критичної області:

(k_кр < 0)

в) для двосторонньої симетричної критичної області:

(k_кр > 0)

Зрозуміло, що для певної гіпотези можна побудувати багато різних критеріїв її перевірки, і за кожним критерієм можемо одержувати різні результати щодо прийняття нульової гіпотези на основі тієї самої вибірки. Тому для визначення кращого критерію вводиться характеристика, яка називається потужністю критерію.

Потужністю критерію називають імовірність потрапляння критерію у критичну область за умови, що конкуруюча гіпотеза є істинною.

1.7. Критична область. Область прийняття гіпотези. Критичні точки

Після вибору визначеного критерію, множину всіх його можливих значень розбивають на дві підмножини, що не перетинаються: одна із них має значення критерію, при яких нульова гіпотеза відкидається, а інше – при яких

вона приймається.

Критичною областю називають сукупність значень критерію, при яких нульову гіпотезу відкидають.

Областю прийняття гіпотези (областю допустимих значень) називають сукупність значень критерію, при яких гіпотезу приймають.

Основний принцип перевірки статистичних гіпотез можна сформулювати так: якщо спостережене значення критерію належить критичній області – гіпотезу заперечують, якщо спостережене значення критерію належить області прийняття гіпотези – її приймають.

Оскільки критерій К – одномірна випадкова величина, то всі її можливі значення належать деякому інтервалові. Тому критична область та область прийняття гіпотези також являються інтервалами і, слідує, що існують точки, що їх розділяють.

Критичними точками (границями) називають точки, що відділяють критичну область від області прийняття гіпотези.

Розрізняють односторонню (правосторонню чи лівосторонню) та двохсторонню критичні області.

Правосторонньою називають критичну область, що визначається рівністю K> , де - додатне число.

Лівосторонньою називають критичну область, що визначається рівністю K< , де - від’ємне число.

Односторонньою називають правосторонню чи лівосторонню критичну

область.

Двохсторонньою називають критичну область, що визначається

нерівностями: K<k₁, K>k₂, де k₂>k₁.

В деяких випадках, якщо критичні точки симетричні відносно нуля, то двохстороння критична область визначається нерівностями (1.14) (в припущенні, що >0):

K<- , K> (1.14)

чи рівносильною нерівністю .