1.4. Статистична перевірка статистичних гіпотез

Статистична гіпотеза – це певне припущення щодо властивостей генеральної сукупності, яке можна перевірити за даними вибіркового спостереження. Гіпотеза, яку належить перевірити, формулюється як відсутність розбіжностей між параметром генеральної сукупності G і заданою величиною а (нульова гіпотеза). Зміст її записують так : H₀:G=a. Кожній нульовій гіпотезі протиставляють альтернативну H_а. Залежно від вагомості відхилень вона формулюється H_а:G>a; H_а:G<a або H_а:G=0.

Якщо вибіркові дані суперечать гіпотезі H₀, вона відхиляється, якщо

погоджуються – H₀ не відхиляється. Перевірка гіпотез неминуче пов’язана з ризиком прийняття помилкового рішення : ризик І роду – відхилення вірної нульової гіпотези, ризик ІІ – прийняття H₀, коли насправді вірна альтернативна.

Правило, за яким гіпотеза H₀ відхиляється або не відхиляється, називають статистичним критерієм. Математичною основою будь-якого критерію є

статистична характеристика Z, закон розподілу якої відомий, наприклад, характеристика t – розподілу Стьюдента.

Ймовірність ризику відхилення вірної нульової гіпотези називають рівнем істотності а, а значення статистичної характеристики для імовірності 1–а – критичним значенням Z_1-a . Значення найпоширеніших статистичних критеріїв

наведені у спеціальних таблицях. Якщо вибіркове значення Z> Z_1-a не відхиляється.

У разі перевірки справедливості H₀:G=a проти H_а:G≠a використовують двосторонній критерій, критичне значення Z визначається для , тобто .

Дані вибіркових спостережень часто становлять основу для прийняття одного з кількох альтернативних рішень (продукція може бути бракованою або якісною, точність обробки виробу в межах норми або нижча від норми і т. д.). Із загальнометодологічного погляду тут йдеться про висунення деякої гіпотези, яку відхиляють або приймають після проведення деякого експерименту. Якщо цей експеримент має статистичний (стохастичний) характер, кажуть, що гіпотеза є статистичною.

Означення. Статистичною називають гіпотезу про властивості генеральної сукупності, що перевіряється на основі вибірки.

Статистичними гіпотезами можуть бути, наприклад, такі твердження: розподіл ймовірностей випадкової величини є нормальний; розподіл ймовірностей випадкової величини є пуасонівський; у нормальному розподілі випадкової величини параметри і у показниковому розподілі випадкової величини параметр випадкові величини Х і Y незалежні і т. п.

У математичній статистиці виділяють два основні типи статистичних гіпотез:

а) гіпотези про закон розподілу ймовірностей випадкової величини (ознаки генеральної сукупності);

б) гіпотези про значення параметрів розподілу випадкової величини

(ознаки генеральної сукупності).

Статистичні гіпотези першого типу називають непараметричними, а другого типу – параметричними.

1.5. Помилки першого та другого роду

Як звичайно, нульову гіпотезу формулюють так, щоб негативний вплив (шкода) помилки першого роду був меншим, ніж вплив помилки другого роду. З імовірністю  ми можемо помилково віднести дані, що відповідають гіпотезі H₀, до H₁. Мірою якості критерію, або потужністю критерію, є число 1 – .

 – ймовірність помилки другого роду.

Висунута гіпотеза може бути правильною чи неправильною, тому виникає необхідність її перевірити. Оскільки перевірку здійснюють статистичними методами, то її називають статистичною. В результаті статистичної перевірки гіпотези у двох випадках може бути прийняте правильне рішення, тобто можуть бути допущені помилки двох родів.

Помилка першого роду полягає в тому, що буде заперечена правильна гіпотеза. Помилка другого роду полягає в тому, що буде прийнята неправильна гіпотеза.

Слід підкреслити, що наслідки цих двох помилок можуть виявитися зовсім різними. Наприклад, якщо заперечене правильне рішення «продовжувати будівництво наземного паркінгу», то ця помилка першого роду викличе матеріальну втрату.

Якщо ж прийняте неправильне рішення «продовжувати будівництво наземного паркінгу», не дивлячись на небезпеку обвалу будівлі, то ця помилка другого роду може привести до загибелі людей. Розуміється, що можна навести

приклади, коли помилки першого роду ведуть за собою більш важкі наслідки, ніж помилки другого роду.