1.2. Елементи математичної статистики

Нехай необхідно дослідити сукупність однорідних об’єктів відносно деякої кількісної ознаки Х, цю сукупність називають генеральною. Для досліджень випадково обирають значно меншу частину об’єктів і таку сукупність називають вибірковою, або вибіркою. Об’єктом вибірки n називається число її об’єктів.

Статистичним розподілом вибірки називається таблиця виду:

Табл. 1.3. Статистичний розподіл вибірки

xi	x1	x2	…	xm
ni	n1	n2	….	nm

де: x_i – усі можливі значення ознаки х з вибірки;

n_{i –} відповідні частоти значень x_i, причому _.

Для оцінки параметрів, що визначають розподіл, використовують статистичні оцінки невідомих параметрів.

Статистичною оцінкою не відомого параметру називається функція від спостережених значень з вибірки. Розглянемо лише точкові статистичні оцінки, в яких визначається одним числом.

,

Бажано, щоб точкові оцінки були не зміщеними, тоді математичне

сподівання точкової оцінки для будь-якого об’єму вибірки дорівнює параметру,

що ми оцінюємо:

.

Незміщеною оцінкою математичного сподівання випадкової величини (тобто генеральної середньої) є вибіркова середня (1.7):

. (1.7)

Зміщеною оцінкою дисперсії випадкової величини (генеральної дисперсії) є вибіркова дисперсія (1.8):

. (1.8)

Вибірковим середнім квадратичним відхиленням називається величина, значення якої рівне кореню квадратному від вибіркової дисперсії (1.9):

. (1.9)

Виправлену вибіркову дисперсію використовують у якості незміщеної оцінки для дисперсії випадкової величини. Її прораховують за формулою (1.10): . (1.10)

Виправленим вибірковим середнім квадратичним відхиленням називається величина, значення якої рівне кореню квадратному із виправленої вибіркової дисперсії:

. (1.11)

1.3. Елементи теорії кореляції

Дві випадкові величини X та Y можуть бути або незалежними, або пов’язаними строгою функціональною залежністю, або пов’язаними

залежністю іншого роду - статистичною залежністю.

Строга функціональна залежність (наприклад, Y=X²) реалізовується рідко, так як обидві величини або одна з них, як правило, зазнають впливу випадкових факторів.

Серед таких факторів можуть бути і спільні, тобто такі, що діють як на Y, так і на Х. В цьому випадку виникає статистична залежність. Наприклад, якщо Y залежить від випадкових факторів Z, U₁, U₂, а Х - від випадкових факторів Z, V₁, то між Y та Х є статистична залежність.

Отже, статистичною називається залежність, при якій зміна однієї з величин викликає зміну розподілу іншої. Статистична залежність, при якій зміна однієї випадкової величини викликає зміну середнього значення іншої випадкової величини, називається кореляційною.

Розглянемо систему двох кількісних ознак X та Y. При великому числі спостережень результати зручно записати у вигляді кореляційної таблиці (табл. 1.4.):

Табл. 1.4. Кореляційна таблиця

де x_і та y_j – спостережені значення ознак відповідно X та Y; n_ij - частота

спостережень пари значень x_і та y_j; та - частота спостережень значення

x_і та y_j відповідно; i=1,…,m; j=1,…,k; n – об’єм вибірки.

Очевидно, що:

(для i=1,…,m); (для j=1,…,k);

; ; .

Вибірковий кореляційний момент обчислюється за формулою (1.12):

. (1.12)

Вибірковий коефіцієнт кореляції можна знайти за формулою (1.13):

. (1.13)