Міністерство освіти і науки молоді та спорту України

Тернопільський національний технічний університет

імені Івана Пулюя

Кафедра комп’ютерно-

інтегрованих технологій

Курсова робота

з предмету:

«Математичне моделювання на ЕОМ»

на тему:

«Розвязування задач математичного моделювання

за допомогою системи Mathcad»

Варіант - 28

Виконав:

студент групи КТ-21

Галяс Андрій

Перевірила:

Доцент кафедри КТ

Муль Олена Владленівна

Тернопіль 2013

Кафедра___Комп’ютерно-інтегрованих технологій .

Дисципліна __Математичне моделювання на ЕОМ.______________________

Спеціальність _6.050202. Автоматизації та комп’терно-інтегровані технології

Курс ____ІІ_______ Група ________КТ-21________Семестр __III

ЗАВДАННЯ

на курсову роботу студента

Галяса Андрія Івановича

Тема проекту (роботи): Розв’язання задач математичного моделювання

за допомогою системи MathCAD.

ЗАВДАННЯ КУРСОВОЇ РОБОТ И

1. Побудувати математичну модель для даних однофакторного експерименту.

№	X3	Y8
1	-4.914	4.122
2	-5.911	8.148
3	-6.985	11.974
4	-7.943	16.648
5	-8.982	22.165
6	-9.917	26.901
7	14.06	-19.3
8	13.089	-19.44
9	12.024	-19.75
10	11.053	-19.72
11	4.005	-15.75
12	3.012	-14.36
13	2.074	-13.06

№	X3	Y8
14	1.001	-11.54
15	0.096	-9.301
16	-0.925	-7.599
17	-1.932	-5.01
18	-2.934	-2.424
19	-3.993	1.004
20	10.057	-19.39
21	9.051	-18.77
22	8.097	-18.54
23	7.07	-18.4
24	6.01	-17.25
25	5.047	-16.49

2. Розв’язати симплексним методом задачу лінійного програмування. Результат перевірити у системі Mathcad за допомогою вбудованих функцій для знаходження екстремуму функції кількох змінних.

Завдання видала_________________________________ Доцент кафедри КТ

Муль Олена Владленівна

Завдання виконав____________________________Студент групи КТ-21

Галяс Андрій Іванович

ЗМІСТ

ЗАВДАННЯ…………………………………………………………...…………..2

ВСТУП…………………………………………………………………………….5

РОЗДІЛ 1. СТАТИСТИЧНІ ЗАДАЧІ МАТЕМАТИЧНОГО

МОДЕЛЮВАННЯ ………………………………………………………………6

1.1. Випадкові величини……………………………………………..…………..6

1.2. Елементи математичної статистики………………………………………11

1.3. Елементи теорії кореляції………………………………………………….12

1.4. Статистична перевірка статистичних гіпотез…………………………….14

1.5. Помилки першого та другого роду…………………………………..……16

1.6. Статистичний критерій та спостережуваний критерій …………………17

1.7. Критична область. Область прийняття гіпотези. Критичні точки……19

1.8. Потужність критерію ……………………………………………………...20

1.9. Критерій згоди Пірсона … ………………………………………………..21

1.10. Розв’язок задачі в MathCAD……………………………………………....25

1.11. Висновки.…………………………………………………………………..33

РОЗДІЛ 2. СИМПЛЕКСНИЙ МЕТОД………………………………………34

2.1. Математичне програмування……………………………………….……..34

2.2. Лінійне програмування………………………………………………...…..35

2.3. Симплексний метод……………………………………………….…….….35

2.4. Розв’язок задачі в MathCAD……………………………………………….37

2.5. Висновки……………………………………………..………………..……39

ВИСНОВКИ..............……………………………………………………………40

СПИСОК ВИКОРИСТАНОЇ ЛІТЕРАТУРИ………………………….……41

ВСТУП

Mathcad відноситься до так званих систем комп'ютерної алгебри, тобто засобів автоматизації математичних розрахунків. В цьому класі програмного забезпечення існує багато аналогів різноманітної спрямованості і принципу побудови. Найбільш часто Mathcad порівнюють з такими програмними комплексами, як Maple, Mathematica, MATLAB, а також з їх аналогами MuPAD, SciLab, Maxima. Втім, об'єктивне порівняння ускладнюється у зв'язку із різним призначенням програм і ідеологією їх використання.

Основна відміна Mathcad від аналогічних програм — це графічний, а не текстовий режим вводу виразів. Для набору команд, функцій, формул можна використовувати як клавіатуру, так і кнопки на численних спеціальних панелях інструментів. В будь якому разі — формули будуть мати звичний, аналогічний книжковому, вигляд. Тобто особливої підготовки для набору формул, власне, й не потрібно. Обчислення із введеними формулами здійснюються за бажанням користувача або миттєво, одночасно із набором, або за командою. Звичайні формули обчислюються зліва-направо і зверху вниз (подібно читанню тексту). Будь-які змінні, формули, параметри можна змінювати, спостерігаючи наочно відповідні зміни результату. Це надає можливість організації насправді інтерактивних обчислювальних документів.

Однак слід пам'ятати про основну область застосування Mathcad — для задач інженерного характеру і створення навчальних інтерактивних документів можливостей візуалізації цілком достатньо.

Розділ 1. Статистичні задачі математичного моделювання

1.1. Випадкові величини

Випадкова величина – це величина, що в результаті випробувань прийме одне і те ж значення, яке наперед невідоме і залежить від випадкових величин.

Дискретна випадкова величина – величина, яка приймає скінчену, або зчисленну множину значень.

Неперервна випадкова величина – це величина, можливі значення якої заповнюють скінчений, або нескінченний інтервал.

Випадкова величина може задаватися законом розподілу - співвідношенням, що встановлює зв’язок між її можливими значеннями та відповідними їх ймовірностями. Закон розподілу може задаватися, як таблиця (табл.1.1.):

Табл. 1.1. Таблиця закону розподілу

х1	х2	х3	…	хn
P1	P2	P3	…	Pn

де: х_{n –} можливі значення випадкової величини;

P_{n –} відповідні імовірності цих значень;

або графічно (рис. 1.1):

Рис. 1.1. Графічне зображення закрну розподілу

Математичним сподіванням дискретної випадкової величини Х називається сума добутків всіх можливих значень цієї випадкової величини на відповідні ймовірності (1.1):

. (1.1)

Вона приблизно рівна середньому значенню випадкової величини, може приймати будь-яке дійсне значення.

Дисперсією випадкової величини Х називається математичне сподівання квадрату відхилення цієї випадкової величини від її математичного сподівання (1.2):

. (1.2)

Дисперсія – це міра розсіювання можливих значень випадкової величини Х навколо її математичного сподівання. Вона може приймати тільки додатнє значення.

Середнім квадратичним відхиленням випадкової величини Х називається величина, що рівна за значенням кореню квадратному із дисперсії цієї випадкової величини (1.3):

. (1.3)

Середнє квадратичне відхилення приймає тільки додатнє значення.

Тепер розглянемо систему двох дискретних випадкових величин X та Y (табл. 1.2.):

Табл. 1.2. Система двох дискретних величин

	x1		xm	Py
y1	P11	…	Pm1	Py1
…	…	…	…	…
yk	P1k	…	Pmk	Pyk
Рx	Px1	…	Pxm	1

Як видно із таблиці:

, , .

P_{mk –} імовірність того, що випадкова величина Х прийме значення x_m, а одночасно при цьому випадкова величина Y прийме значення y_k.

Для характеристики взаємозв’язку між випадковими величинами X та Y вводять такі числові характеристики, як кореляційний момент та коефіцієнт кореляції.

Кореляційний момент - це математичне сподівання добутку відхилень випадкових величин X та Y від їхніх математичних сподівань:

(1.4)

Коефіцієнтом кореляції r(X,Y) двох випадкових величин X та Y називається відношення кореляційного моменту до добутку середніх квадратичних відхилень цих величин:

. (1.5)

Розмірність кореляційного моменту дорівнює добутку розмінностей випадкових величин X та Y, коефіцієнт кореляції – величина безрозмірна.

Властивості кореляційного моменту та коефіцієнта кореляції:

• для будь-яких величин X та Y абсолютне значення коефіцієнт

кореляції не перевищує 1, тобто:

;

• якщо величини X та Y незалежні, то:

K(X,Y)=r(X,Y)=0;

• якщо випадкові величини X та Y пов’язані між собою строгою

лінійною залежністю (Y=aX+b), то коефіцієнт кореляції дорівнює одиниці, причому:

a>0, то r(X,Y)=1; a<0, то r(X,Y)=-1.

• дві випадкові величини X та Y називаються корельованими, якщо

їхній коефіцієнт кореляції відмінний від нуля;

• якщо X та Y незалежні, то вони завжди є некорельованими, але

навпаки – твердження не вірне.

В багатьох задачах потрібно встановити та оцінити залежність вивчаючої випадкової величини Y від одної чи кількох інших величин. Розглянемо спочатку залежність Y від одної випадкової ( чи невипадкової) величини Х, а потім від кількох величин.

Дві випадкові величини можуть бути пов’язані функціональною залежністю, чи залежністю другого роду, що називається статистичною, чи бути незалежними.

Строга функціональна залежність реалізується рідко, так як обидві величини чи одна з них підлягають ще під вплив випадкових факторів, причому серед них можуть бути і загальні для двох величин (під «загальними» тут розуміють такі фактори, які впливають і на Y і на Х). В цьому випадку виникає статистична залежність.

Наприклад, якщо Y залежить від випадкових факторів: а Х залежить від випадкових факторів: то між Y та Х є статистична залежність, так як серед випадкових факторів є загальні, а саме Z₁ та Z₂.

Статистичною називають залежність, при якій зміна однієї із величин спричиняє зміну розподілу іншої. Зокрема, статистична залежність проявляється в тому, що при зміні однієї із величин змінюється середнє значення іншої, в цьому випадку статистичну залежність називають кореляційною.

Для оцінки тісноти лінійного кореляційного зв’язку між ознаками у вибірці служить вибірковий коефіцієнт кореляції. Для оцінки тісноти нелінійного кореляційного зв’язку вводять нові характеристики:

- вибіркове кореляційне відношення Y до Х;

- вибіркове кореляційне відношення Х до Y.

Вибірковим кореляційним відношенням Y до Х називають відношення між групового середнього квадратичного відхилення до загального середнього квадратичного відхилення ознаки Y (2.6):

(1.6)

Тут:

;

де: n – об’єм вибірки (сума всіх частот);

- частота значення х ознаки Х;

- частота значення y ознаки Y;

- загальна середня ознаки Y;

- умовна середня ознаки Y.

Аналогічно визначається вибіркове кореляційне відношення Х до Y :

.