§ 5. Пространство ограниченных числовых последовательностей т

Рассмотрим множество последовательностей таких, что . Это множество принято обозначать буквой . Если и , то по определению полагают

Упражнение 1. Доказать, что если , то и, значит, — линейное пространство.

Превратим в нормированное пространство, полагая

Упражнение 2. Проверьте справедливость аксиом нормы в пространстве . Какова сходимость в ? Пусть и . Это означает, что для любого найдется номер такой, что для любых n выполняется

Последнее неравенство эквивалентно условию, что для любых номеров .

Таким образом, сходимость в — покоординатная, равномерная относительно номера координаты.

§ 6. Пространство

Рассмотрим множество всех числовых последовательностей таких, что ряд сходится.

Упражнение 1. Покажите, что если , то и . Норму в введем по формуле

Упражнение 2. Проверьте аксиомы 1) и 2) нормы.

Докажем в неравенство треугольника. В неравенстве Минковского для конечных сумм (4) § 3 увеличим правую часть, заменив на любое , и в полученном неравенстве

перейдем к пределу при . Получим неравенство (для любых )

Отсюда следует, что ряд сходится, как ряд с неотрицательными членами, частичные суммы которого ограничены (см. учебник по математическому анализу). Следовательно, , и справедливо нопавелство

Это и есть неравенство треугольника. Итак, — нормированное пространство.

§ 7. Пространство непрерывных функций

Рассмотрим линейное пространство всех непрерывных на функ­ций. Норму введем так:

Аксиомы 1) и 2) нормы проверяются тривиально. Проверим аксиому 3). По свойству модуля для любого имеем

Следовательно, . Неравенство сохранится, если взять в левой его части. В результате получаем неравенство треугольника для нормы в ; для полученного нормированного пространства мы сохраним прежнее обозначение.

Покажем теперь, что сходимость по норме в есть равномерная сходимость. Пусть дана последовательность , и пусть она сходится к , т. е. . Это означает следующее: для любого существует номер такой, что при любых справедливо неравенство

и тем более для всех . Итак, сходимость по норме в — равномерная.

Посмотрим, как выглядит в (в вещественном случае) окрестность . Для этого построим графики функций . Эти два графика и отрезки прямых и ограничивают - полоску (полоску ширины вокруг графика , которая и служит -окрестностью точки (рис. 1).

Рис. 1.

В лежат те элементы , графики которых лежат строго между графиками элементов и .

§ 8. Пространство .

В линейном пространстве раз непрерывно дифференцируемых на функций введем норму

где — производная функции .

Упражнение. Проверьте аксиомы нормы в . Покажите, что сходимость в — это равномерная сходимость на последовательностей .

§ 9. Пространство

Вернемся к линейному пространству непрерывных на функций. Однако теперь мы введем норму иначе:

(интегрирование понимается в смысле Римана).

Упражнение 1. Проверьте аксиомы 1) и 2) нормы. Аксиома треугольника представляет собою неравенство Минковского для интегралов:

Доказательство неравенства Минковского при основывается на неравенстве Гёльдера

где . Заметим сначала, что если на или на , то неравенство (2) справедливо. Пусть . Подставим в неравенство (см. (2) § 3) следующие выражения и, проинтегрировав получившееся неравенство, получим

Это и есть неравенство (2).

Далее, имеем, как и в случае сумм (см. § 3),

После сокращения на получаем неравенство Минковского (1).

Определение 1. Пусть в линейном пространстве введены две нормы: и | . Если существует постоянная такая, что для любых выполнено неравенство

то будем говорить, что норма подчинена норме .

Упражнение 2. Покажите, что если в линейном пространстве заданы и , причем подчинена , то из сходимости последовательности в смысле вытекает ее сходимость в смысле , причем к тому же элементу.

Определение 2. Сходимость в называется сходимостью в среднем.

Упражнение 3. Покажите, что подчинена норме и что, таким образом, из равномерной сходимости последовательности непрерывных на функций следует сходимость ее в среднем на . Возникает вопрос — верно ли обратное: будут ли оба введенных вида сходимости эквива­лентны?