26. Признак сравнения рядов с положительными членами.

Признак сравнения — утверждение об одновременности расходимости или сходимости двух рядов, основанный на сравнении членов этих рядов.  Пусть  , , ,…, ,… – числовая последовательность. Выражение   называют числовым рядом, а числа  , ,…,  – членами ряда. Ряд часто записывают в виде . Ряд называют сходящимся, если   (конечен),  – частичная сумма ряда. Ряд  , составленный из членов бесконечно убывающей геометрической прогрессии, является сходящимся при  . Ряд   называют обобщенно-гармоническим рядом, при p>1 этот ряд сходится, при p<1 расходится. При p=1 получаем расходящийся ряд  , который называют гармоническим. Если ряд   сходится, то его общий член стремится к нулю (необходимый признак сходимости ряда):  . Таким образом, если  , ряд расходится.

27. Интегральный признак сходимости. Обобщённый гармонический ряд.

Пусть f (x) является непрерывной, положительной и монотонно убывающей функцией на промежутке [1, +∞). Тогда ряд

сходится, если сходится несобственный интеграл  , и расходится, если 

В математике гармонический ряд представляет собой сумму, составленную из бесконечного количества членов, обратных последовательным числам натурального ряда

28. Признаки Даламбера и Коши сходимости рядов с положительными членами.

Признак Даламбера Пусть   − ряд с положительными членами. Тогда справедливы следующие свойства: Если  , то ряд   сходится; Если  , то ряд   может как сходиться, так и расходиться. В этом случае для установления сходимости нужно использовать другие признаки. Если  , то ряд   расходится;

Снова рассмотрим ряд   с положительными членами. Согласно признаку Коши: Если  , то ряд   сходится; Если  , то ряд   расходится; Если  , то вопрос о сходимости ряда  , также как для признака Даламбера, остается открытым.

29. Знакочередующиеся ряды. Признак Лейбница.

Ряд называется знакочередующимся, если его члены попеременно принимают значения противоположных знаков, т. е.:

Признак Лейбница — признак сходимости знакочередующегося ряда, установлен Готфридом Лейбницем. Формулировка теоремы: Пусть для знакочередующегося ряда

выполняются следующие условия:

1)  (монотонное невозрастание {a_n} по абсолютной величине) 2) .Тогда этот ряд сходится. Если, выполнены все условия, и ряд из модулей ( ) сходится, то исходный ряд сходится абсолютно. Если выполнены все условия, но ряд из модулей расходится, то исходный ряд сходится условно. Строгая положительность   существенна. Ряды, удовлетворяющие признаку Лейбница, называются рядами Лейбница. Следует отметить, что этот признак является достаточным, но не необходимым.Пример . Ряд из модулей имеет вид   — это гармонический ряд, который расходится.

Теперь воспользуемся признаком Лейбница:

1)знакочередование выполнено 

2)

3) .

Следовательно, так как все условия выполнены, но ряд из модулей расходится, искомый ряд сходится условно.

Из доказательства признака Лейбница следует, что сумма знакопеременного сходящегося ряда меньше по модулю первого члена остатка ряда. Поскольку любой остаток ряда r_nявляется также рядом Лейбница, то для него справедливо: