24. Свойства сходящихся рядов

1. Если ряд сходится и имеет сумму , то и ряд (полученный умножением данного ряда на число )также сходится и имеет сумму .

2.Если ряды и сходятся и их суммы равны и , то и ряд также сходится и его сумма равна .

3. Если ряд сходится, то сходится и ряд, полученный из данного путем отбрасывания (или приписывания) конечного числа членов. Поэтому сумму ряда (13.3) можно представить в виде: , где - остаток ряда (после отбрасывания первых членов): .

4. Для того, чтобы ряд (13.1) сходился, необходимо и достаточно, чтобы при остаток ряда стремился к нулю, т.е. чтобы .

25. Необходимый признак сходимости

Теорема. Если ряд сходится, то предел его общего члена при равен нулю: .

Доказательство. Представим -й член как . Поскольку ряд сходится, то , поэтому .

Пример. Проверить выполнение необходимого признака сходимости ряда .

Решение. , т.е. необходимый признак сходимости выполняется.

Замечание. Следует отметить, что условие является необходимым, но не является достаточным условием сходимости ряда.

Гармонический ряд и его расходимость (доказать).

Расходимость гармонического ряда

Рассмотрим ряд: , который носит название гармонического ряда.

Для гармонического ряда необходимый признак сходимости выполнен: .

Однако это не означает, что ряд сходится.

Покажем это. Рассмотрим частичные суммы ряда и :

Найдем разность :

.

Заменяя в сумме каждое слагаемое наименьшим , придем к вспомогательному неравенству:

или .

Если бы гармонический ряд сходился, тогда , а мы имеем . Это значит, что гармонический ряд расходится.

Таким образом, если общий член ряда стремится к нулю, то еще нельзя сделать вывод о сходимости ряда. Необходимо дополнительное исследование с помощью достаточных признаков сходимости ряда.

25.Необходимый признак сходимости ряда

Теорема. Если ряд сходится, то   un=0. Доказательство. Пусть ряд u1+u2+…+un… сходится, то есть существует конечный предел  =S. Тогда имеет место также равенство  =S, так как при n  и (n-1) . Вычитая почленно из первого равенства второе, получаем  -  =  = un=0, что и требовалось доказать. Следствие. Если  un≠0, то ряд u1+u2+…+un… расходится. Пример. Ряд   расходится, так как un= . Подчеркнём, что рассмотренный признак является только необходимым, но не достаточным, то есть из того, что  un=0 не следует, что ряд сходится. Позже докажем, что так называемый гармонический ряд          (6) расходится, хотя  un= Этот ряд часто будет использоваться в дальнейшем. Гармонический ряд представляет собой сумму, составленную из бесконечного количества членов, обратных числам натурального ряда: т.е. сумма всех чисел вида 1/n, где n - натуральное число, изменяющееся от нуля до бесконечности .Ряд назван гармоническим так как каждый его член, начиная со второго, является гармоническим среднимдвух соседних.  количество членов гармонического ряда строго равно количеству натуральных чисел (по определению). А при группировке членов ряда, для того чтобы получить 1/2 каждый раз в скобки объединялось все больше и большее количество членов гармонического ряда: 1, 2, 4, ... т.е. 2^n соответственно.