8. Наибольшее и наименьшее значения функции нескольких переменных в замкнутой области.

Пусть функция u = f (x₁ , x₂ ,…, x_n) определена и непрерывна в некотором ограниченном и замкнутом множестве D и имеет на этом множестве конечные частные производные. Тогда эта функция достигает на D своего наибольшего и наименьшего значения. Поэтому для определения наибольшего и наименьшего значений функции на множестве D требуется:1)найти стационарные точки функции, принадлежащие D, и вычислить значения функции в этих точках;2)найти наибольшее и наименьшее значение, принимаемое функцией на границе множества D;3)выбрать наименьшее и наибольшее из полученных чисел, которые и будут являться наименьшим и наибольшим значениями функции на всем множестве D.

9. Скалярное поле. Производная по направлению.

Пусть функция u = f (x, y, z) определена в некоторой окрестности в точки М с координатами(x, y, z).Пусть s=(cosα, cosβ, cosγ)-это единичный вектор задающий направление прямой S проходящей через точку М. Предел отношения при называется производной от функции u = f (x, y, z) по направлению вектора S и обозначается .Получаем:

10. Градиент скалярной функции и его свойства.

Градиент функции u = f (x, y, z),в точке М(x, y, z) называется вектор сначала в точке М₀ координаты которого равны соответствующим частным производным вычисленным в точке М.

Обозначение: grad u = .

11. Задача об объёме цилиндрического тела.

К определенному интегралу мы пришли от задачи о площади криволинейной трапеции. К двойному интегралу мы приходим, решая задачу об объеме цилиндрического тела.

- Рассмотрим, например, прямой круговой цилиндр с высотой h и радиусом основания R его объем равен  

- Объем цилиндра той же высоты, в основании которого лежит эллипс с полуосями  равен .

- Объем цилиндра той же высоты, с площадью основания , равен .

Пусть надо вычислить объем цилиндрического тела, в основании которого лежит область  с площадью , а высота  изменяется от точки к точке так, что конец ее описывает некоторую поверхность (). Тогда логично разбить область на области малого размера — организовать разбиение области на области — элементы разбиения. На каждом элементе отметим точку M(x,y) и построим над этим элементом прямой круговой цилиндр, высота которого постоянна для всех точек элемента и равна . Вычислим объем этого элементарного цилиндра. Просуммируем объемы всех элементарных цилиндров. Эта сумма и даст приближенно искомый объем цилиндрического тела тем точнее, чем меньше будут размеры элементов разбиения. Этот алгоритм используем для построения двойного интеграла

12. Двойной интеграл: определение и основные свойства.

Если существует один и тот же предел интегральных сумм при и , не зависящий от способа разбиения области D и выбора точек Pi , то он называется двойным интегралом от функции f(x, y) по области D и обозначается .

Свойства двойных интегралов:

1. Если функция f(x, y) интегрируема в D, то kf(x, y) тоже интегрируема в этой области, причем

2.Если в области D интегрируемы функции f(x, y) и g(x, y), то в этой области интегрируемы и функции f(x, y) ± g(x, y), и при этом

3. Если для интегрируемых в области D функций f(x, y) и g(x, y) выполняется неравенство f(x, y) ≤ g(x, y) , то

4. Если область D разбита на две области D1 и D2 без общих внутренних точек и функция f(x, y) непрерывна в области D, то

5. В случае интегрируемости на D функции f(x, y) в этой области интегрируема и функция | f(x, y) |, и имеет место неравенство

6. где SD – площадь области D. Доказательство этого утверждения получим, подставляя в интегральную сумму f(x, y) ≡ 0.

7. Если интегрируемая в области D функция f(x, y) удовлетворяет неравенству

m ≤ f(x, y) ≤ M,

то