46. Классическое и статистическое определения вероятности случайного события.

Классическое определение вероятности. Пусть пространство элементарных событий  Е  состоит из  N  равновозможных элементарных событий, среди которых имеется  n  событий, благоприятствующих событию  А , тогда число Р ( А ) = n / m называется вероятностью события  А .Статистическое определение вероятности. Пусть производится серия опытов (n), в результате которых событие А наступает m раз число - частота наступления события А, тогда под вероятностью события А будем понимать предел при Р(А)=

47. Теорема сложения вероятностей. Следствия.Теорема сложения. Вероятность суммы двух несовместных событий равна сумме вероятностей этих событий Р(А+В)=Р(А)+Р(В). Предположим, что m случаев благоприятны событию А, а k событию В, тогда Р(А)=m\n; Р(В)=k\n. Так как события А и В несовместны, то нет таких случаев, которые благоприятны А и В вместе. Следовательно, событию А+В благоприятны m+k случаев и Р(А+В)=( m+k)\n.Отметим следствия, вытекающие из теоремы сложения вероятностей. Следствие 1. Если события  образуют полную группу несовместных событий, то сумма их вероятностей равна единице: .

Доказательство. Так как события  образуют полную группу, то появление хотя бы одного из них – достоверное событие: .

Так как  - несовместные события, то к ним применима теорема сложения вероятностей

, откуда ,

Следствие 2. Сумма вероятностей противоположных событий равна единице: .

Это следствие есть частный случай следствия 1. Оно выделено особо ввиду его большой важности в практическом применении теории вероятностей. На практике весьма часто оказывается легче вычислить вероятность противоположного события , чем вероятность прямого события . В этих случаях вычисляют  и находят .

48. Условная вероятность. Теорема умножения вероятностей.

Условная вероятность оценивает то изменение в степени уверенности о наступлении некоторого события, которое происходит после получения дополнительной информации.Вероятность совмещения событий А и В равна произведению вероятности одного из них на условную вероятность другого, вычисленную в предположении, что первое событие осуществилось, т. е.

P(AB)=P(A)PA(B)

49. Формула полной вероятности.

Пусть событие A может произойти только вместе с одним из попарно несовместных событий H1, H2, ..., Hn,образующих полную группу. Тогда, если произошло событие A, то это значит, что произошло одно из попарно несовместных событий H1A, H2A, ..., HnA. Следовательно,

Применяя аксиому сложения вероятностей, имеем

Но (i=1, 2, ..., n), поэтому

Эта формула называется формулой полной вероятности. События H1, H2, ..., Hn часто называют «гипотезами».

50. Применение комбинаторики к вычислению вероятностей.Применение комбинаторики к подсчету вероятности

Если из совокупности объема n производится выборка k элементов с возвращением, то вероятность получения каждой конкретной выборки считается равной.Если выборка производится без возвращения, то эта вероятность равна.

Пусть наступление события А состоит в появлении выборки с какими-то дополнительными ограничениями и количество таких выборок равно m. Тогда в случае выборки с возвращением имеем:

в случае выборки без возвращения: