44. Линейные неоднородные дифференциальные уравнения. Метод вариации произвольных постоянных.

Нахождение решения неоднородного уравнения методом вариации произвольных постоянных.Итак, пусть дано неоднородное уравнение .

Пусть  - базисные функции пространства y_о.о решений однородного уравнения  с той же левой частью. Тогда y_о.о  - неопределенные постоянные. Будем искать множество y_о.н. в виде 

Тогда мы опять получим две неизвестные функции вместо одной, зато при этом появится возможность составить для них более простые уравнения.

Сначала же попробуем подставить такую сумму в исходное уравнение. Найдем первую производную: ,и потребуем, чтобы подсумма, содержащая производные  обращалась в ноль: Это так называемое уравнение связи, и оно убивает двух зайцев: в силу линейной независимости функций  производная  всегда может быть выражена через  или наоборот; кроме того, при нахождении второй производной неизвестной функции  вторых производных  уже не возникнет:

Теперь подставим в данное уравнение:

Но сумма в скобках, стоящих при множителях  обращаются в ноль: ведь  - решения однородного уравнения. Вместе с уравнением связи мы получили систему из двух алгебраических уравнений с двумя неизвестными :

45. Линейные неоднородные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами. Нахождение частного решения по виду правой части.

Линейное неоднородное дифференциальное уравнение (ЛНДУ) второго порядка с постоянными коэффициентами имеет вид , где p и q – произвольные действительные числа, а функция f(x) – непрерывна на интервале интегрирования X.

Существует несколько методов нахождения частного решения ЛНДУ второго порядка с постоянными коэффициентами. Методы выбираются в зависимости от вида функции f(x), стоящей с правой части уравнения. Перечислим их.

1)Если f(x) является многочленом n-ой степени f(x) = P_n(x), то частное решение ЛНДУ ищется в виде , где Q_n(x) – многочлен степени n, а r – количество корней характеристического уравнения, равных нулю. Так как - частное решение уравнения , то коэффициенты, определяющие многочлен Q_n(x), находятся методом неопределенных коэффициентов из равенства .

2)Если функция f(x) представлена произведением многочлена степени n и экспоненты , то частное решение ЛНДУ второго порядка ищется в виде , где Q_n(x) – многочлен n-ой степени, r – число корней характеристического уравнения, равных . Коэффициенты многочлена Q_n(x) определяются из равенства .

3)Если функция f(x) имеет вид , где А₁ и В₁ – числа, то частное решение ЛНДУ представляется как , где А и В – неопределенные коэффициенты, r – число комплексно сопряженных пар корней характеристического уравнения равных . Коэффициенты многочлена А и В находятся из равенства .

4)Если , то , где r – число комплексно сопряженных пар корней характеристического уравнения, равных , P_n(x), Q_k(x), L_m(x) и N_m(x) - многочлены степени n, k, m и m соответственно, m = max(n, k). Коэффициенты многочленов L_m(x) и N_m(x) находятся из равенства .

5)Для любого другого вида функции f(x) применяется следующий алгоритм действий. Находится общее решение соответствующего линейного однородного уравнения как y₀ = C₁ ⋅ y₁ + C₂ ⋅ y₂, где y₁ и y₂ - линейно независимые частные решения ЛОДУ, а С₁ и С₂ – произвольные постоянные. Далее варьируются произвольные постоянные, то есть, в качестве общего решения исходного ЛНДУ принимается y = C₁(x) ⋅ y₁ + C₂(x) ⋅ y₂. Производные функций C₁(x) и С₂(x) определяются из системы уравнений , а сами функции C₁(x) и C₂(x) находятся при последующем интегрировании.