33. Степенные ряды. Интервал и радиус сходимости.

Степенным рядом называется функциональный ряд вида ,

где   - коэффициенты степенного ряда,   - центр ряда.

 Теорема о радиусе сходимости.

Для каждого степенного ряда   существует   , удовлетворяющее свойствам:

1)Если  , то ряд сходится только при   .

2)Если  , то ряд сходится при любых  .

3)Если  , то ряд сходится при   и расходится при  .

Сходимость на любом отрезке внутри интервала равномерная.

Число   - радиус сходимости степенного ряда.Утверждение о равномерной сходимости.

Если , то в точке   ряд сходится, следовательно, по теореме Абеля он сходится равномерно на  .

 Формулы для радиуса сходимости степенного ряда.

1. Если существует (конечный или бесконечный) предел  , то радиус сходимости степенного ряда   вычисляется по формуле:

2. Если существует (конечный или бесконечный) предел  , то:

 

Замечание. Ряд   с центром   сводится к   заменой   .

Все наши результаты переносятся на общие степенные ряды.

В частности, ряд сходится на   и расходится вне соответствующего отрезка.

34. Разложение функций в степенные ряды. Ряд Тейлора.

Функциональный ряд      , где  - числовая последовательность, называется степенным рядом. Степенной ряд сходится на интервале    с центром в точке    . Число   - радиус сходимости степенного ряда может быть вычислено по формулам  , или      . Степенной ряд сходится равномерно на любом отрезке, целиком лежащем внутри интервала сходимости. Сходимость степенного ряда на границах интервала сходимости необходимо исследовать специально для конкретного ряда.  При исследовании свойств бесконечно дифференцируемых функций изучают их степенные ряды ряды Тейлора. Пусть функция    определена в некоторой окрестности точки    и имеет в этой точке производные всех порядков. Ряд

называется рядом Тейлора для функции     в точке  . При  такой ряд называют также рядом Маклорена:     . Функция   может быть разложена в степенной ряд на интервале  , если существует степенной ряд, сходящийся к   на этом интервале. Если функция раскладывается в степенной ряд в некоторой окрестности точки  , то это ряд Тейлора. Пусть функция   бесконечно дифференцируема на интервале  и все ее производные ограничены в совокупности на этом интервале, то есть существует число    , такое, что для всех     и для всех    справедливо неравенство  . Тогда ряд Тейлора сходится к    для всех    . Приведем разложения в ряд Тейлора для основных элементарных функций.

35. Разложение в ряд Маклорена некоторых основных элементарных функций.

Разложение функции f(x)=e^x в ряд Маклорена.f(x)=f′(x)=f″(x)=…=f⁽ⁿ⁾(x)=…=e^x.f(0)=f′(0)=f″(0)=…=f⁽ⁿ⁾(0)=…=1.

Составим для функции f(x)=e^x формально ряд Маклорена: 1+  .Найдём области сходимости этого ряда.

 при любых x, следовательно, областью сходимости ряда является промежуток  (-∞;+∞). Заметим, что так как ряд сходится абсолютно, то    при любых х и тем более   при любых х. Так как f⁽ⁿ⁺¹⁾(x)=e^x и f⁽ⁿ⁺¹⁾(с)=e^с, то  =e^c =0. Таким образом, имеет место разложение при x (-∞;+∞)

e^x=1+  .     (32)