1.Функция нескольких переменных. Геометрическая интерпретация. Предел и непрерывность.

Переменная z (с областью изменения Z) называется функцией двух независимых переменных х,у в множестве М, если каждой паре (х,у) из множества М по некоторому правилу или закону ставится в соответствие одно определенное значение z из Z.Множество М, в котором заданы переменные х,у, называется областью определения функции, а сами х,у – ее аргументами.Обозначения: z = f(x,y), z = z(x,y).Переменная z (с областью изменения Z) называется функцией нескольких независимых переменных в множестве М, если каждому набору чисел из множества М по некоторому правилу или закону ставится в соответствие одно определенное значение z из Z. Понятия аргументов и области определения вводятся так же, как для функции двух переменных.Обозначения: z = f , z = z .

Предел и непрерывность функции нескольких переменных.

Введем понятие δ-окрестности точки М₀ (х₀ , у₀) на плоскости Оху как круга радиуса δ с центром в данной точке. Аналогично можно определить δ-окрестность в трехмерном пространстве как шар радиуса δ с центром в точке М₀ (х₀ , у₀ , z₀). Для n-мерного пространства будем называть δ-окрестностью точки М₀ множество точек М с координатами , удовлетворяющими условию

где - координаты точки М₀. Иногда это множество называют «шаром» в n-мерном пространстве.

Число А называется пределом функции нескольких переменных f в точке М₀, Обозначения: .Функция f называется непрерывной в точке М₀ ,если

Если ввести обозначения , то условие можно переписать в форме

2.Частные производные. Дифференцируемость, полный дифференциал.

Частной производной функции по аргументу х_i называется .Обозначения: .

Таким образом, частная производная функции нескольких переменных определяется фактически как производная функции одной переменной – х_i. Поэтому для нее справедливы все свойства производных, доказанные для функции одной переменной.Полным приращением функции u = f(x, y, z) называется .Если приращение функции u = f (x, y, z) в точке (x₀ , y₀ , z₀) можно представить в виде , где то функция называется дифференцируемой в этой точке, а выражение - полным дифференциалом рассматриваемой функции.Обозначения: du, df (x₀ , y₀ , z₀).

3.Производные сложных функций нескольких переменных.

Переменная z называется сложной функцией от независимых переменных х,у, t ,… если она задана посредством промежуточных аргументов u,v,…, где u = f(x ,y,t …), v = g ( x , y , t …) и.т.д. Если для функции двух переменных z=f(x,y) обе переменные х и у зависят от некоторой третьей переменной t:х=j(t),у=c(t), то z зависит также только от t и можно вычислить производную причем справедлива теорема: Теорема. Если функции x=x( t ) и =y( t ) дифференцируемы в точке t , а функция z=f( x , y ) дифференцируема в точке М( x ( t ), y ( t )), то сложная функция z=f ( x ( t ), y ( t )) также дифференцируема в точке t :