Осы сияқты екінші және төртінші теңдіктерден

N=(D-CA^-1B)^-1, L=A^-1BN.

Бұл әдіс қарастырылған кері матрицалар бар болғанда ғана іске асатындығын естен шығармаған жөн. Жоғарыдағы формулаларды былайша өзгертуге болады:

N=(D-CA^-1B)^-1, M=-NCA^-1, L=-A^-1BN, K=A^-1-A^-1BM.

Немесе

K=(A-BD^-1C)^-1, L=KBD^-1, M=-D^-1CK, N=D^-1-D^-1CL.

Бұл формулаларда өлшемдері p және q екі матрицаның кері матрицасын табу жеткілікті.

Соңғы формулалардан, матрицаның бас диагнолындағы клеткалардың кері матрицасы оңай табылатын жағдайда, клеткаға бөлу әдісі тиімді екенің көреміз.

Көмкеру әдісі.

Берілген А матрицасын мына түрде жазайық ,

мұнда .

Егер белгілі десек, онда матрицасын мына түрде іздестіреміз:

, мұнда біз табуға тиісті p_n-1-матрица, q_n-жатық бағана, r_n-тік бағана және 1/ _n-сан. Енді А мен А^-1 матрицаларын бір-біріне көбейітсек, онда

.

Осыдан

A_n-1p_n-1+u_nq_n=E (5.1)

v_np_n-1+a_nnq_n=0 (5.2)

A_n-1r_n+u_n/ _n=0 (5.3)

v_nr_n+a_nn/ _n=1. (5.4)

(5.3) теңдігінен r_n=A_n-1^-1u_n/ _n ,

ал (5.4) теңдігінен

_nn=a_nn-v_nA_n-1^-1u_n (5.5)

белгісіздерін табамыз.

Ал (5.1) теңдігінен

p_n-1=A_n-1^-1-A_n-1^-1u_nq­_n. (5.6)

Енді (5.2) және (5.5) формулаларының негізінде

v_nA_n-1^-1-v_nA_n-1^-1u_nq_n+a_nnq_n=v_nA_n-1^-1-(a_nn- _n)q_n+a_nnq_n =v_nA_n-1^-1+ _nq_n=0.

болғандықтан q_n=-v_nA_n-1­^-1/ _n

p_n-1=A_n-1^-1+A_n-1­^-1u_nv_nA_n-1^-1/ _n.

Сонымен

, (5.7)

мұнда .

Бұл әдіс арқылы А^-1 матрицасын табу ретімен

(а₁₁), матрицаларының кері матрицасын көмкеру әдісі арқылы біртіндеп табу арқылы іске асырылады. Есептеу схемасы мынандай:

1. ( _1,n ,..., _n-1,n)=-A_n-1^-1u_n , ( _n,1 ,..., _n,n-1)=-v_nA_n-1^-1 ,

2. .

( _n санын екі жолмен табу, есептеу барысының дұрыстығын қадағалап отыру үшін қажет.)

4) b_іk=c_іk+ _{іn nk}/ _n , (і,k<n-1) b_іn= _іn/ _n ; b_nk= _nk/ _n , (і,k<n-1)

d_nn=1/ _n.

Көмкеру әдісін, теңдеулер жүйесін шешкен кезде, А_n-1^-1 белгілі болғанда қолдану тиімді. Мұндай жағдайлар Б.Г.Галеркин немесе В.Ритц әдісімен математикалық физика немесе механика есептерін (n-1) координатты функцияны қолданғандағы дәлдік қанағаттандырмаған, ал (n) координатты функцияны қолданғандағы дәлдік қанағаттанарлық болғанда кездеседі.

Теңдеулер жүйесін дәл әдіспен шешудің басқа да жолдары бар. Олардың кейбір түрлерімен Ө.Сұлтанғазин мен С.Атанбаевтың ,,Есептеу әдістерінің қысқаша теориясы” атты оқулығының 1-кітабынан танысуға болады.

Лекция 11. Теңдеулер жүйесін қарапайым итерациялық әдістермен шешу жолдары.

Итерациялық процесстерді құру принципі.

Көп жағдайда теңдеулер жүйесін дәл әдіске қарағанда итерациялық әдіспен шешкен тиімдірек. Себебі:

1. Егер итерациялық процесс жылдам жинақталатын болса, онда теңдеулер жүйесін шешуге жіберілген арифметикалық амалдар саны мен оны есептеуге жіберілген уақыт үнемделеді.

2. Итерациялық әдіс өзін-өзі түзетін отыратындықта, есептеу кезінде жіберілген қателер жалпы теңдеулер жүйесінің шешуіне әсерін тигізбейді.

3. Итерация әдісінің алгоритмі онша күрделі болмағандықтан ЕЭМ-ға программа оңай құрылады.

4. Теңдеулер жүйесінің матрицасының элементтерінің көпшілігі нөлге тең болған жағдайда итерация әдісінің тиімділігі арта түседі.

Енді осы итерациялық процесті құру схемасымен танысайық.

Айталық ,

(6.1)

теңдеулер жүйесі берілсін және делік. Осы теңдеулер жүйесін шешу үшін

(6.2)

формуласы бойынша ,( -итерацияның

-қадамдағы жуықтауы) векторлар тізбегін табамыз.

Х⁰-бастапқы кез-келген вектор, Н¹, Н²,... матрицалар тізбегі .

(6.2)-формуласын итерациялық әдіс дейміз.

{Н ^(к)} матрицалар тізбегінің түріне қарай (6.2) формуласынан әртүрлі итерациялық процестерді аламыз. Егер ягни -дан тәуелсіз болса, онда итерациялық процесті “стационар” , ал -дан тәуелді болса “стационар емес” деп, ал болса, онда қадамды итерациялық процесс дейміз.

Итерациялық процестер үшін (6.1) теңдеулер жүйесінің шешуі Х^*-қозғалмайтын нүкте болып табылады, яғни деп алсақ, онда (6.2) формула бойынша тапқан келесі векторымыз да болады.

Керісінше -қозғалмайтын нүкте болатын кез-келген мынандай итерациялық процесті

, (6.3)

мұнда -матрицалар тізбегі, -векторлар тізбегі, (6.2) түрінде жазуға болады.

Шынында да үшін

болғандықтан

мұнда .

Енді итерациялық процесстің жинақталуын қарастыру үшін (6.2) теңдігін векторынан алып тастайық, ягни

. (6.4)

Осы формуланы былайша жазсақ

онда -векторлар тізбегінің векторына жинақталуы үшін

матрицасының нөлге ұмтылуы қажетті және жеткілікті, ал матрицасының кез-келген нормасының нөлге ұмтылуы жеткілікті шарт екенің көреміз.Ал -векторлар тізбегінің векторына ұмтылу жылдамдығы матрицасына байланысты болғандықтан, оны тандау әртүрлі итерациялық әдістерге әкеледі.

Енді итерациялық әдістердің жинақтылығын қалай сипаттауға болады, немесе қай уақытта итерацмялық процессті тоқтату керектігіне тоқталайық. Теңдеулер жүйесінің дәлдігін қателік векторы арқылы бағалау мүмкін болмағандықтан көбіне -ауытқу векторы арқылы бағалайды. Шынында да, егер (C-const) болса, онда

.

Осыдан болғанда .

екенің көреміз. Ал

(6.6)

болғандықтан

.

Осыдан мынандай тұжырым жасауға болады: егер (C-const) яғни (6.1) орнықты болса, онда шегінен шегі келіп шығады. Ал матрицасының шарттылығы нашар болған жағдайда бұл тұжырым орындалмауы да мүмкін.

Сондықтан итерациялық процессті , алдын-ала берілген дәлдік - бойынша теңсіздігі орындалған кезде тоқтату ертерек болуы мүмкін.

Енді (6.4) теңдігін былайша жазайық: .

Осыдан .

Бұл теңсіздік ,(6.1) теңдеулер жүйесі орнықты болған жағдайда, итерациялық процесті

(6.7)

теңсіздігі орындалғанда тоқтатуға болатындығын көрсетеді.

Егер А оң анықталған симметриялы матрица болған жағдайда қателік вектордың шамасын қателік функциясы деп аталатын

функцияның шамасымен де анықтауға болады. Шынында да А оң анықталған болғандықтан және болғанда .