Осы процестерді қайталау арқылы

x₁+C₁₂x₂+ . . . +C_1nx_n=y₁

x₂+C₂₃x₃+…+C_2nx_n=y₂ (4.11)

----------------------

x_n=y_n

теңдеулер жүйесін аламыз.

Қорыта келгенде (4.11) теңдеулер жүйесінің коэффициенттері мен оң жағы мына формулалар арқылы табылатының көреміз:

a_kj⁽⁰⁾=a_kj (k,j=1,2,…,n),

( j=k+1,k+2,…,n; k=1,…,n).

а_іj^(k)=a_іj^(k-1)- a_іk^(k-1)C_kj ( і,j=k+1,k+2,…,n; k=1,…,n),

f_k⁽⁰⁾=f_k , , (k=1,…,n),

f_і^(k)=f_і^(k-1)-a_іk^(k-1) y_k (і=k+1,k+2,…,n.),

Ал (4.11) теңдеулер жүйесінің шешуі -х₁,х₂,…,х_n мына формула арқылы табылады:

х_n=y_n , (і=n-1,n-2,…,1). (4.13)

Гаусс әдісімен теңдеулер жүйесін есептеу кезінде қолданылған арифметикалық амалдар саны -

N=m(m²+3m-1)/3 екенің есептеу онша қиын емес.

Гаусс әдісімен теңдеулер жүйесін шешкен кезде (4.12) формуласындағы бас элемент -а_кк^(к-1) өте аз шама болған жағдайда дөңгелектеу қателері өсіп, есептеу дәлдігі төмендеп кетуі мүмкін. Сондықтан, кейбір жағдайда, бас элемент ретінде max|a_іk^(k-1)| (і=k,n) коэфициентін алады, яғни |х_іk| коэфициенті ең үлкен теңдеуді к-шы теңдеумен орын ауыстыру арқылы есептеуді жалғастырады. Бұл әдіс Гаусстың тік жол боынша бас элементті таңдау әдісі деп аталады.

Егер a_kk -ны max|a_іk^(k-1)| (і=k+1,n) коэфициентімен алмастырсақ, яғни х_к белгісізін х_і белгісізімен орын алмастыру арқылы есептесе , онда бұл әдісті - Гаусстың жатық жол бойынша бас элементті таңдау әдісі дейді.

Лекция 8. Қуалау әдісі

Бұл әдіс көбінесе үш диогналды теңдеулер системасын шешуге арналған. Айталық,

(4.19)

(і=1,...,n), a₁=c_n=0

теңдеулер жүйесі берілсін. Бұл теңдеулер жүйесінің шешулерінің ара-қатынасы

_і=x_{і+1 і+1}+y_і+1 (і=n,...,1), (4.20)

болсын делік. x_і , y_і белгісіздерін табу үшін (4.20) теңдігін (4.19) теңдігіне қойсақ, онда мынандай теңдеулер системасын аламыз:

.

Осы теңдеуден

. (4.21)

Жоғарыда көрсетілген (4.20) мен (4.21) формулаларын салыстыра отырып

, (4.22)

(мұнда і=1,...,n) формуласын аламыз. Егер x₁=y₁= _n+1=0 десек , онда x_і , y_і ( і=1,...,n) белгісіздерін табу арқылы , (4.20) формуласын қолданып, теңдеулер жүйесінің шешуін табамыз.

Енді осы әдістің орнықты болуы үшін а_і 0, с_і 0,

|b_і|>|a_і|+|c_і| ( і=1,...,n) (4.23)

шарттарының жеткілікті екенің көрсетейік.

Шынында да х₁=0 болғандықтан |x₂|=|c₁|/|b₁|<1.

Енді бұл шарт кез-келген і үшін |x_і|<1 деп алып |x_1+і|<1 теңсіздігі де орындалатынын көрсетейік. (4.23) формуладан теңсіздігін алуға болатындықтан .

Осыдан (4.22) формулаларының бөлімі нөлге тең еместігін көреміз және , яғни

(і=1,...,n). (4.24)

(4.23) шарты (4.19) жүйесінің шешуінің бар болуын және оның біреу ғана болатындығын қамтамасыз етіп қоймай, жүйенің орнықты екенің де көрсетеді.

Шынында да (4.20) формуласы бойынша і=і₀+1 болғанда _і+1-дің орнына есептелінді делік. Онда і=і₀ болғанда формуласының орнына формуласын аламыз және .

Осыдан болатындықтан жіберілген қатенің өспейтіндігін көреміз.

Лекция 9. Матрицаның анықтауышын есептеу.

Гаусс әдісін матрицаның анықтауышын есептеу үшін де қолдануға болады. Біз оның бір ғана түрін қарастырамыз.

Айталық,

анықтауышы берілген және а₁₁ 0 болсын. Осыдан

, мұнда b₁₁=a_1і/a₁₁ .

Енді бірінші жатық жолды әр төменгі жатық жолдың бірінші элементіне көбейтіп және сол жатық жолдан алып тастап отырсақ, онда

.

Егер а_22.1 0 болса жоғарыдағы қолданған әдісті қалған

(n-1) өлшемді анықтауышқа қолданамыз. Осы әдісті аяғына дейін жалғастырсақ, онда

.

Егер а_іі.і-1=0 немесе нөлге жақын болған жағдайда, алдын ала жатық жолдарды немесе тік жолдарды алмастыру арқылы а_іі.і-1 0 матрицаға түрлендіруге болады. Ең дұрысы матрицаның бірінші жатық жолының бірінші элементі, оның барлық элементтерінен, абсолют шамасы бойынша ең үлкен болғаны тиімді. Анықтауышты есептеген кезде қолданылған көбейту мен бөлудің саны- .

Гаусс әдісі бойынша кері матрицаны табу.

Бізге ерекше емес

А=[a_іj] (і,j=1,2,...,n) (4.31)

матрицасы берілсін.

Оның кері матрицасы

А^-1=[х_іj (і,j=1,2,...,n) (4.32)

болсын.

Онда АА^-1 =Е теңдігі орындалатындықтан А мен А^-1 матрицаларын көбейту арқылы мына теңдеулер жүйесін аламыз:

(і,j=1,2,...,n), (4.33)

мұнда

Теңдеулер жүйесінің оң жағы n бағанадан тұратындықтан Гаусс әдісін барлығына паралель қолдану тиімді, яғни

x_kj (k,j=1,2,...,n) мына формулалар арқылы табылады:

a_kj⁽⁰⁾=a_kj, (k,j=1,...,n), (j=k+1,k+2,...,n; k=1,...,n),

(і,j=k+1,k+2,...,n; k=1,2,...,n-1). (4.34)

(4.35)

(j=k+1,k+2,...,n; і,k=1,2,...,n)

(і=n-1,n-2,...,1). (4.36)

Лекция 10. Кері матрицаны табу әдістері.

Гаусс әдісін қолдану арқылы кері матрицаны табу жолын өткен параграфта қарастырдық. Енді кері матрицаны табудың басқа жолдарын қарастырайық.

Клеткаларға бөлу әдісі.

Кей уақыттарда матрицаның өлшемі өте үлкен болған жағдайда оны алдын-ала өлшемі аз матрицаларға бөлшектеу арқылы кері матрицасын табу тиімдірек. Біз осы әдістің, дербес жағдайын, n өлшемді матрицаны төрт клеткаға бөлу арқылы кері матрицасын табу жолын қарастырайық. Берілген S матрицасын былайша жазайық:

,

мұнда А,D-өлшемдері кезегімен p және q квадрат матрицалар және p+q=n.

Кері матрицасын да клетка түрінде іздестіреміз:

,

мұнда да K,N-өлшемдері кезегімен p және q квадрат матрицалар. Енді S және S^-1 матрицаларын бір-біріне көбейітсек, онда мынандай теңдіктер жүйесін аламыз:

AK+BM=E AL+BN=0

CK+DM=0 CL+DN=E.

Үшінші теңдікті ВD^-1 матрицасына сол жақтан көбейтіп, бірінші теңдіктен алсақ, онда (A-BD^-1C)K=E.

Осыдан K=(A-BD^-1C)^-1 және үшінші теңдіктен M=-D^-1CK.