Туралы түсінік

Айталық, облысында сызықты дифференциалды теңдеу

(4.1)

және оның қосымша шарты

(4.2)

берілсін. Мұнда берілген функциялар , сызықты дифференциалды оператор. (4.1)-(4.2) есебінің бір ғана шешуі бар деп ұйғарамыз. Енді облысын торымен жабайық. түйіндердің тығыздығын анықтайтын параметр болсын. (4.1)-(4.2) есебін

, (4.3)

(4.4)

айырымдық есебімен алмастырайық. Мұндағы белгілі торлық функциялар. (4.3)-(4.4) есебінің шешуі торында анықталған торлық функция. параметрін өзгерту арқылы, яғни торының тығыздығын өзгерту арқылы (4.3)-(4.4) есебінің тан тәуелді шешулерінің жиынын аламыз.

(4.1)-(4.2) есебінің шешуін (4.3)-(4.4) есебінің шешуі қаншалықты жуықтайтындығын -торлық функциялар кеңістігінде қарастырамыз.

Айталық, функциясының торының түйіндеріндегі, яғни болсын.

Енді айырымдық схеманың шешуінің дәлдігін былай белгілесек:

, (4.5)

(4.6)

есебін аламыз. Мұндағы

шамалары жуықтау қателігі (апроксимация қателігі). Яғни (4.1)-(4.2) есебін (4.3)-(4.4) есебімен алмастырғандағы жіберілген қате.

Енді шамаларын бағалау үшін оларды тиісінше шекті өлшемді торлық функциялар жиынында жатады деп есептеп, осы жиындарда нормаларын енгізейік.

Анықтама-1 Егер шарттары орындалса, онда (4.3)-(4.4) айырымдық схемасы (4.1)-(4.2) есебіноның шешуінде тың дәрежесіндегі дәлдікпен жуықтайды (аппроксимациялайды) дейді. Мұндағы

Анықтама-2. Егер нөлге ұмтылғанда нөлге ұмтылса, онда (4.3)-(4.4) есебінің шешуі (4.1)-(4.2) есебінің шешуіне жинақталады дейміз. Егер жеткілікті аз шама табылып, және болғанда бағалауы орындалса, онда айырымдық схеманың шешуі жылдамдықпен (4.1)-(4.2) есебінің шешуіне жинақталады дейді немесе айырымдық схеманың дәлдігі -ге тең дейді. Мұндағы -тан тәуелсіз сан.

Кейде (4.3)-(4.4) есебін функциясының шекаралық (шеткі) нүктелердегі белгілі мәндерін теңдіктің оң жағына шығару арқылы,

(4.7)

түрінде жазуға болады. Бұл жағдайда айырымдық схеманың жуықтау қателігін былайша жазады:

Ал

теңдігін ретті жуықтау қателігі (аппроксимациясы) дейміз.

5.Айырымдық схеманың орнықтылығы туралы түсінік

1-анықтама. Егер сандары табылып, орындалғанда кез-келген үшін

(5.1)

айырымдық есебінің бір ғана шешуі бар болып,

(5.2)

теңсіздігі орындалса, онда

(5.3)

айырымдық схемасын орнықты дейміз. Мұндағы тан тәуелсіз тұрақты сан.

(5.2) теңсіздігі (5.3) айырымдық схемасының оң жағына өсімше берсек, онда оның шешуі бойынша бірқалыпты

аз шамаға өзгеретінін көрсетеді.

Егер операторы -ты қа кескіндейтін сызықты оператор болса, онда жоғарғы анықтамаға пара-пар мына анықтаманы беруге болады.

2-анықтама. Егер кез-келген үшін сызықты айырымдық есебінің бір ғана шешуі- бар болып,

(5.4)

теңсіздігі орындалса, онда айырымдық есепті орнықты дейміз.

Айталық,

(6.1)

айырымдық схемасы

(6.2)

шекаралық есебін шешуі бойынша дәлдікпен жуықтайтын болсын. Яғни (6.2) теңдеуінің шешуін (6.1) теңдеуіне қойсақ, онда

Осыдан

. (6.3)

Мұндағы тан тәуелсіз тұрақты сан. Енді (6.1) айырымдық есебінің жуықтау дәлдігімен оның орнықтылығының және шешуінің (6.2) теңдеуінің шешуіне жинақталуының арасындағы байланысы, яғни жуықтау дәлдігі мен орнықтылықтан жинақтылық шарты орындалатынын көрсететін теореманы берейік.

Теорема. айырымдық схемасы есебін дәлдікпен жуықтайтын және орнықты болса, онда шешуі шешуіне жинақталады және

(6.4)

бағалауы орындалады.

Қорытындысында мынаны ескерген жөн:

1. сызықты айырымдық есебінің шешуі теңдеуінің шешуіне жинақталатынын тексеру үшін теңдеуінің орнықтылығымен жуықтау дәлдігін анықтау жеткілікті. Мұнда есебі тек дифференциалды теңдеудің шекарадық есебі емес, кез-келген функционалды теңдеу болуы мүмкін. Ол тек айырымдық есебінің конструкциясын жасау үшін ғана қажетті

Зертханалық және студиялық сабақтарды орындаудың нұсқаулығы

№1 Лабораториялық жұмыстар.

Тапсырма: Өрнектерді есептеңіздер және жіберілген қателерді аңықтаңыздар.

1) 2) егер

3) 4) егер

5) 6) егер

7) 8) егер

9) 10) егер

11) 12) егер

14) 15) егер

№2 Лабораториялық жұмыстар

1-тапсырма: Таблица арқылы берілген функцияның Лагранж формуласы арқылы нүктесіндегі мәнін табыңыз:

2-тапсырма: Лагранж көпмүшесін есептеудің программасын құрыңыз және осы программаның көмегімен функциясының мәндерін- пайдаланып нүктесіндегі мәнін табыңыз. (x-тің мәнін өздеріңіз алыңыздар)

Сонымен қоса жіберілген қатені есептеп шығарыңыздар.

Таблица №1

		Варианттың номері
0.43	1.63597	1	0.5
0.48	1.73234	13	0.6
0.55	1.87686	15	0.55
0.62	2.03345	7	0.65
0.70	2.22846	9	0.45

Таблица №2

		Варианттың номері
0.02	1.02316	6	0.03
0.08	1.09590	8	0.05
0.12	1.14725	12	0.1
0.17	1.21483	14	0.15
0.23	1.30120	4	0.20

Таблица №3

		Варианттың номері
0.41	2.57418	2	0.4
0.46	2.32513	3	0.5
0.52	2.09336	5	0.55
0.60	1.86203	10	0.45
0.65	1.74926	11	0.65

№3 Лабораториялық жұмыстар.

1-тапсырма. Гаусс әдісін пайдаланып теңдеулер жүйесін шешініздер және қаншалықты дәлдікпен шешкендеріңді анықтандар.

№ 1 № 2

4,24x₁+2,73x₂-1,55x₃=1,87 0,43x₁+1,24x₂-0,58x₃=2,71

2,34x₁+1,27x₂+3,15x₃=2,16 0,74x₁+0,83x₂+1,17x₃=1,26

3,05x₁-1,05x₂-0,63x₃=-1,25 1,43x₁-1,58x₂+0,83x₃=1,03

№ 3 № 4

0,43x₁+0,63x₂+1,44x₃=2,18 1,24x₁+0,62x₂-0,95x₃=1,43

1,64x₁-0,83x₂-2,45x₃=1,84 2,15x₁-1,18x₂+0,57x₃=2,43

0,58x₁+1,55x₂+3,18x₃=0,74 1,72x₁-0,83x₂+1,57x₃=3,88

№ 5 № 6

0,62x₁+0,56x₂-0,43x₃=1,16 1,06x₁+0,34x₂+1,26x₃=1,17

1,32x₁-0,88x₂+1,76x₃=2,07 2,54x₁-1,16x₂+0,55x₃=2,23

0,73x₁+1,42x₂-0,34x₃=2,18 1,34x₁-0,47x₂-0,83x₃=3,26

№ 7 № 8

3,15x₁-1,72x₂-1,23x₃=2,15 1,73x₁-0,83x₂+1,82x₃=0,36

0,72x₁+0,67x₂+1,18x₃=1,43 0,27x₁+0,53x₂-0,64x₃=1,23 2,57x₁-1,34x₂-0,68x₃=1,03 0,56x₁-0,48x₂+1,95x₃=-0,76

№ 9 № 10

0,95x₁+0,72x₂-1,14x₃=2,15 2,18x₁+1,72x₂-0,93x₃=1,06

0,63x₁+0,24x₂+0,38x₃=0,74 1,42x₁+0,18x₂+1,12x₃=1,07

1,23x₁-1,08x₂-1,16x₃=0,97 0,92x₁-1,14x₂-2,53x₃=-0,45

№ 11 № 12

2,23x₁-0,73x₂+1,27x₃=2,43 0,65x₁-0,93x₂+0,45x₃=-0,72

2,15x₁+3,17x₂-1,43x₃=-0,73 1,15x₁+0,43x₂-0,72x₃=1,24

0,83x₁+0,72x₂+2,12x₃=1,42 0,56x₁-0,18x₂+1,03x₃=2,15

№ 13 № 14

1,16x₁-0,28x₂+2,16x₃=1,60 2,16x₁-2,83x₂+1,15x₃=2,32

0,65x₁+0,76x₂-1,18x₃=0,28 1,71x₁+2,17x₂-0,83x₃=1,25

0,53x₁+1,07x₂-0,63x₃=1,27 0,35x₁-0,72x₂+1,03x₃=0,82

№ 15 № 16

1,02x₁+0,72x₂-0,65x₃=1,27 0,53x₁-1,63x₂-0,76x₃=2,18

0,74x₁-1,24x₂-1,73x₃=0,77 0,86x₁+1,17x₂+1,84x₃=1,95

1,78x₁+2,32x₂+0,74x₃=1,16 0,32x₁-0,65x₂+1,11x₃=-0,47

2-тапсырма. Циклді қуалау әдісін пайдаланып

а ₁-b ₁+c _n=f₁

а _і+1-b _і+c _і-1=f₁ (і=2,3,...,n-1)

а ₁-b _n+c _n-1=f_n

теңдеулер жүйесін программа құру арқылы шешіңіздер.

3-тапсырма. Гаусс әдісі арқылы 1-тапсырмадағы теңдеулер жүйесіндегі матрицаның кері матрицасын табыңыздар.

№ 4 Лабораториялық жұмыстар.

1-тапсырма. Біртіндеп жуықтау әдісін қолданып мына теңдеулер жүйесін берілген дәлдікпен шешіңіздер және

формуласын пайдаланып дәлдік -ның қандай мәнінде орындалатының анықтаныздар.

№1 №2

№3 №4

№5 №6

№7 №8

№9 №10

№11 №12

№13 №14

№15 №16

1-тапсырма. 8- параграфтарда көрсетілген әдістерге программа құрыңыздар.

2-тапсырма. 6- параграфтағы лабораториялық жұмыстарда көрсетілген теңдеулер жүйесін градиентті итерациялық әдіс арқылы шешіңіздер.

№ 5 Лабораториялық жұмыстар.

1-тапсырма. Хорда, Ньютон єдістері арќылы тењдеулерді 0,01 дєлдікпен шешіњіздер.

1. _{2. 3. 4.}

_{5. 6.}

_{7. 8. 9.}

_{10. 11. 12.}

_{13. 14. 15.}

№ 6 Лабораториялық жұмыстар.

1. тапсырма интегралды тіктөртбұрыш әдісімен есептеу программасын жаз.

1.1) ; 2) ;

3) ; 4) ;

5) ; 6)

7) ; 8)

9) ; 10)

11) ; 12)

13) ; 14)

1)Интегралды трапеция әдісімен шығар.

2)Интегралды Симпсон әдісімен шығар.

№7 Лабораториялық жұмыстар.