Виды: Ограниченные и неограниченные последовательности.
Последовательность (аn) называется ограниченной, если существуют числа M и m, такие, что имеет место неравенство m≤an≤M. В противном случае она называется неограниченной.
Существует 3 вида неограниченных последовательностей:
1. Для нее существует m и не существует M – в таком случае она ограниченная снизу и неограниченная сверху.
2. Для нее не существует m и существует M – в таком случае она неограниченная снизу и ограниченная сверху.
3. Для нее не существует ни m, ни М – в таком случае она не ограниченная ни снизу, ни сверху.
54. . Предел числовой последовательности. Основные теоремы о пределах.
Число а называется пределом последовательности (аn), если для каждого положительного числа ε найдется такое натуральное число N, что для любого n>N выполняется неравенство:
|an – a| < ε.
В этом случае пишут: lim an = a , или an->a при n->∞.
n->∞
Последовательность, имеющая предел, называется сходящейся, а не имеющая предела – расходящейся.
Если последовательность имеет предел, то она ограниченная.
Всякая сходящаяся последовательность имеет только один предел Базисом на плоскости называются любых два линейно независимых вектора и этой плоскости, взятые в определенном порядке. Любой третий вектор , компланарный плоскости, на которой выбран базис может быть представлен в виде .
Базисом в трехмерном пространстве называются любые три некомпланарных вектора , взятые в определенном порядке. Такой базис обозначается . Пусть ‑ произвольный вектор трехмерного пространства, в котором выбран базис . Тогда существуют числа такие, что.
|
(4) |
Коэффициенты называются координатами вектора в базисе , а формула (4) есть разложение вектора по данному базису.
Координаты вектора в заданном базисе определяются однозначно. Введение координат для векторов позволяет сводить различные соотношения между векторами к числовым соотношениям между их координатами. Координаты линейной комбинации векторов равны таким же линейным комбинациям соответствующих координат этих векторов.
Декартова
прямоугольная система координат в
пространстве определяется заданием
единицы масштаба для измерения длин и
трех пересекающихся в точке взаимно
перпендикулярных осей, первая из которых
называется осью абсцисс
,
вторая – осью ординат
,
третья – осью аппликат
;
точка
‑ начало координат. Положение
координатных осей можно задать с помощью
единичных векторов
,
направленных соответственно по осям
.
Векторы
называются основными или базисными
ортами и определяют базис
в трехмерном пространстве.
55. . Предел функции в точке. Основные теоремы о пределах
Число А называется пределом функции f (х) при х, стремящемся к х0 (или в точке х0), если для любого ε>0 существует такое δ>0, что для всех х, удовлетворяющих условию |х-х0|<δ, x≠x0, имеет место неравенство |f(x)-A|<ε.
Основные теоремы о пределах:
Теорема 1 (о представлении функции в виде суммы своего предела и бесконечно малой функции): lim f(x)=A тогда и только тогда, когда f(x)=A+α(x), где α(х) – бесконечно малая функция при х->a.
Теорема 2 (о пределах суммы, произведения и частного): Если функция f(х) и g(х) определены в некоторой окрестности точки а, возможно, за исключением самой точки а, и существуют пределы lim f(x), lim g(x), то существуют пределы их суммы: lim (f(x)+g(x))
х->a x->a x->a
произведения: lim (f(x)g(x))
x->a _f(x)_
и, если g(x)≠0, lim g(x)≠0, то и частного: lim g(x)
и имеют место равенства:
1. lim (f(x)+g(x)) = lim f(x) + lim g(x);
2. lim (f(x)g(x)) = lim f(x) ∙ lim g(x);
f(x) lim f(x)
3. lim g(x) = lim g(x), при g(x)≠0, lim g(x)≠0.
Следствия из теоремы:
1). Постоян.множитель может быть вынесен из под знака предела: lim сf(x) = с ∙ lim f(x).
2). Предел степени равен степени предела. Если показатель степени n принадлеж. N, то:
lim (f(x))n=(lim f(x))n.
Теорема 3 (о пределе промежуточной функции): Если lim f(x)=A, lim g(x)=a и в некоторой окрестности точки а (коме точки а) имеют место неравенства:
f(x)≤φ(x)≤g(x), то lim φ(x) = A.
56 .Предел функции на бесконечности и бесконечные пределы
О пределе функции пр x стремящемуся к += бескончности.Бескончный предел функции.При изучении свойств функции приходится рассматривать предел функции в бесконечности,бесконечный прдел функции в точке,а также бесконечный предел в бесконечности.
Остановимся подробнее на пределе функции в бесконечности,т.е. при x стрем.к + бесконеч, и при x стрем.к – бесконеч.
Пусть функия f (x) определена на всей числовой прямой.Число B называется пределом функции f(x) при x стрем.к + бесконеч.,если Lim f(xdel)=B для любой последовательности (x) такой,что lim x=+бесконеч.
В этом случае пишут lim f(x)=B.Аналогично,lim f(x)=C, если lim f(x del)=C ,для любой (x del) такой,что Lim x del=-бесконечн.
57?. Односторонние пределы.
Односторонние пределы:
Если в определении предела вместо равенства 0<|x-x0|<δ, т.е. x0-δ<x<x0+δ, x≠x0, рассмотреть неравенство x0<x<x0+δ, то мы получим понятие правого предела. В этом случае пишут:
A=f(x0+0) = lim f(x)
x->x0->0
Аналогично рассматривая неравенство x0-δ<x<x0, вводим понятие левого предела:
A=f(x0-0) = lim f(x)
x->x0->0
Двухсторонний предел функции в точке х0 существует только тогда, когда левый и правый пределы в этой точке существуют и совпадают:
f(x0+0) = f(x0-0).
58.?
59.