41?. Условие параллельности прямых.

Если прямые l₁ и l₂ параллельны между собой, то их нормальные векторы n₁=(A₁;B₁) и n₂=(A₂;B₂) коллинеарны. Считая, что ни одна из прямых не колллинеарна осям координат, запишем условие коллинеарности векторов n₁ и n₂ в координатной форме:

А₁/A₂=B₁/B₂=C₁/C₂  k₁=k₂.

К этому же выводу можно прийти и из геометрических соображений. Если l₁ ║ l₂, то α₁= α₂.

Следовательно, tg α₁ = tg α₂ (при условии, что α₁=α₂≠90^o), или k₁=k₂. Таким образом, прямые параллельны тогда и только тогда, когда равны их угловые коэффициенты.

. Условие перпендикулярности прямых.

Если прямые l₁ и l₂ взаимно перпендикулярны, то взаимно перпендикулярны и их нормальные вектора n₁=(A₁;B₁) и n₂=(A₂;B₂). Запишем условие перпендикулярности векторов n₁ и n₂ в координатной форме:

А₁А₂ + В₁В₂=0.

Считая, В₁≠0 и В₂≠0, имеем: _ __1__

А₁/В₁ ∙ А₂/В₂ +1= 0  k₁ ∙ k₂=0, или k₁= k₂ , если k₂≠0.

Таким образом, прямые взаимно перпендикулярны тогда и только тогда, когда их угловые коэффициенты обратны по величине и противоположны по знаку. (Например, 2/3 и -3/2).

42. Окружность и ее уравнение.

Окружностью называется множество всех точек плоскости, одинаково удаленных от данной точки. Пусть центр окружности находится в точке О₁(а,в), а радиус окружности равен r.

Возьмем на окружности произвольную точку М(х,у). Тогда модуль О₁М будет равен r или:

√(х-а)²+(у-в)²=r, или : (х-а)²+(у-в)²=r².

Если центр окружности находится в начале координат, то его уравнение имеет вид: х²+у²=r².

43. . Эллипс и его уравнение.

Эллипсом называется множество точек плоскости, сумма расстояний от каждой из которых до 2ух данных точек, называемых фокусами, есть величина постоянная. Для вывода уравнения эллипса выберем систему координат таким образом, чтобы ось ОХ проходила через фокусы, а ось ОУ через середину отрезка, соединяющего фокусы.

Пусть М(х,у) –произвольная точка эллипса.Обозначим расстояние между фокусами через 2с:

F₁M + F₂M = 2a._____________

Тогда получим: √(х + с)² + (у - 0)² = 2а.

Возведя дважды в квадрат данные уравнения выражения и обозначив а²-с²=в², уравнение эллипса записывается: х² _ у²

а² в² =1.

Исследование уравнения эллипса:

1. Т.к. переменные х и у входят в уравнение эллипса во второй степени, то эллипс симметричен относительно осей ОХ и ОУ.

2. Выразим из уравнения эллипса У:

у² х² а²в² – в²х² в² + в ____

в² = 1 - а², у² = а² = а² (а²-х²).  у = - а √(а²-х²).

Отсюда следует, что │х│≤ а.

Значит, эллипс заключен между прямыми х=-а и х=а.

Выразим из уравнения эллипса х:

+ _а_ ______

х = - в √(в² – у²), Значит, эллипс заключен между прямыми у=в и у=-в.

При возрастании х от 0 до а, у изменяется от в до 0.

Отрезок А₁А₂, равный 2а, называется большой осью эллипса.

Отрезов В₁В₂, равный2в называется малой осью эллипса.