46.. Уравнение плоскости, проходящей через данную точку с заданным нормальным вектором.

Пусть в прямоугольной системе еоординат Охуz задана некоторая точка М₀(х₀;у₀;z₀) и ненулевой вектор N=(A;B;C). Требуется составить уравнение плоскости α, проходящей через точку М₀ и перпендикулярно вектору N. (Любой ненулевой вектор, перпендикулярный к плоскости α,назыв. нормальным вектором этой плоскости). Возьмем на плоскости α произвольн.точку М(х, у, z). Ясно, что М принадлежащ. α эквивалентно N│ M₀M, что в свою очередь эквивалентно N ∙ M₀M=0. Учитывая, что N=(A;B;C) и М₀М= (х-х₀; у-у₀; z-z₀), запишем равенство в координатной форме:

А(х-х₀) + В(у-у₀)+Z(z-z₀)=0. Это уравнение назыв. уравнением плоскости,проход. через данную тоску с задан. нормальн.вектором.

47. . Общее уравнение плоскости.

Всякое уравнение первой степени Ах + Ву +Сz +D=0 в прямоугольной системе координат Оxyz определяет плоскость, и притом единственную.

Ах + Ву +Сz +D=0 – общее уравнение плоскости, где D = - (Ах₀ + Ву₀ +Сz₀).

Частные случаи уравнения плоскости:

1. D=0, => уравнение имеет вид Ах + Ву +Сz =0, плоскость проходит через начало координат.

2. С=0, => уравнение имеет вид Ах + Ву +D=0, плоскость парралельна OZ.

Аналогично: А=0, Ву +Сz +D=0, плоскость прралельна ОХ,

В=0, Ах + Сz +D=0, плоскость парралельна ОУ.

3. С=В=0, => Ax+D=0, плоскость параллельна осям ОХ и ОУ и перпендикулярна ОZ.

Аналогично: А=В=0, Cz+D=0, перпендикуларна OZ,

А=С=0, Ву+D=0, перпендикулярна ОУ.

4. A=D=0, => By+Cz=0, плоскость проходит через ОХ и начало координат.

Аналогично: В=D=0, Ax+Cz=0, плоскость проходит через ОУ и начало координат.

С=D=0, Ax+By=0, плоскость проходит через ОZ и начало координат.

5. А=В=D=0, => Cz=0 – уравнение плоскости Оху.

Аналогично: B=C=D=0, Ax=0 – уравнение плоскости Оуz.

A=C=D=0, By=0 – уравнение плоскости Оxz.

48. Уравнение плоскости, проходящей через 3 данные точки.

Пусть плоскость проходит через М₁(х₁;у₁;z₁) и М₂(х₂;у₂;z₂) и М₀(х₀;у₀;z₀). Возьмем на плоскости произвольную точку М. Тогда векторы М₀М(х-х₀;у-у₀;z-z₀), М₀М₁(х₁-х₀;у₁-у₀;z₁-z₀) и М₀М₂(х₂-х₀;у₂-у₀;z₂-z₀) будут компланары. Из условия компланарности векторов можно записать:

│ х-х₀ у-у₀ z-z₀│

│ х₁-х₀ у₁-у₀ z₁-z₀│ = 0.

│ х₂-х₀ у₂-у₀ z₂-z₀│

49.

50. . Условие параллельности прямых. Условие перпендикулярности прямых.

Если прямые l₁ и l₂ параллельны между собой, то их нормальные векторы n₁=(A₁;B₁) и n₂=(A₂;B₂) коллинеарны. Считая, что ни одна из прямых не колллинеарна осям координат, запишем условие коллинеарности векторов n₁ и n₂ в координатной форме:

А₁/A₂=B₁/B₂=C₁/C₂  k₁=k₂.

К этому же выводу можно прийти и из геометрических соображений. Если l₁ ║ l₂, то α₁= α₂.

Следовательно, tg α₁ = tg α₂ (при условии, что α₁=α₂≠90^o), или k₁=k₂. Таким образом, прямые параллельны тогда и только тогда, когда равны их угловые коэффициенты.

. Условие перпендикулярности прямых.Если прямые l₁ и l₂ взаимно перпендикулярны, то взаимно перпендикулярны и их нормальные вектора n₁=(A₁;B₁) и n₂=(A₂;B₂). Запишем условие перпендикулярности векторов n₁ и n₂ в координатной форме:

А₁А₂ + В₁В₂=0.

Считая, В₁≠0 и В₂≠0, имеем: _ __1__

А₁/В₁ ∙ А₂/В₂ +1= 0  k₁ ∙ k₂=0, или k₁= k₂ , если k₂≠0.

Таким образом, прямые взаимно перпендикулярны тогда и только тогда, когда их угловые коэффициенты обратны по величине и противоположны по знаку. (Например, 2/3 и -3/2).

51-52. . Каноническое и параметрическое уравнения прямой в пространстве.

x=x₀+mt

y=y₀+nt

z=z₀+pt

Данное уравнение назыв. параметрическим уравнением прямой.

Каноническим же уравнением назыв. уравнение вида:

x-x₀ y-y₀ z-z₀

m = n = p .

53. Числовые последовательности и способы их задания. Геометрическое изображение числовых последовательностей.

Бесконечной числовой последовательностью называется числовая функция, определенная на множестве всех натуральных чисел. Общий вид: а₁; а₂; а₃; … а_n; … (или (а_n)).

Способы задания последовательностей:

1. Последовательность может быть задана при помощи формулы, указывающей, как по номеру n члена последовательности вычислить его значение а.

Последовательность, у которой все члены принимают равные между собой значения, называется постоянной последовательностью.

2. Реккурентный (индуктивный) способ: он состоит в том, что указывается правило (обычно это формула), позволяющая вычислить общий член последовательности через предыдущие, и задается несколько начальных членов последовательности. Эта формула называется реккурентным соотношением.

3. Последовательность может быть задана словесно, т.е. описанием ее членов.

При изучении последовательностей удобно использовать их геометрическое изображение. Для этого используют в основном 2 способа:

1. Т.к. последовательность (а_n) есть функция, заданная на N, то ее можно изобразить как график этой функции с координатами точек (n; а_n).

2. Члены последовательности (а_n) можно изобразить точками х=а_n.