35. . Уравнение прямой, проходящей через данную точку с задан. Нормальным вектором.

Пусть прямая l проходит через точку М₀ с координатами (х₀, y₀), и перпендикулярна вектору n(A,B). Вектор, перпендикулярный данной прямой, называется нормальным вектором этой прямой. Возьмем на прямой произвольную точку М(х,y). Векторы M₀M и n перпендикулярны, а значит, их скалярное произведение равно 0, т.к. М₀М имеет координаты (х-х₀, y-y₀):

n ∙ M₀M=0.

Запишем это равенство в координатной форме: А(х-х₀) – В(у-у₀)=0. Это и есть уравнение прямой, проходящей через задан.точку с задан. нормальн.вектором.

36. Общее уравнение прямой.

Пусть дано уравнение 1ой степени с двумя неизвестными. В общем виде оно записывается след.образом: Ах+Ву+С=0. Покажем, что данному уравнению на плоскости соответствует прямая линия, и что уравнение любоц прямой можно записать в таком виде:

Пусть дана прямая А(х-х₀) + В(у-у₀) =0. Преобразуем это уравнение:

Ах – Ах₀ + Ву – Ву₀=0.

Ах + Ву + (-Ах₀-Ву₀)=0.

Обозначим -Ах₀-Ву₀=С => Ах +Ву+С=0.

Докажем, что уравнению Ах+Ву+С=0 на плоскости соотв. прямая линия. Преобразуем его:

Ах + В(у+ с/в)=0;

А(х-0) + В (у- (-с/в)) =0, а это прямая, проходящая через точку с координатами (0; -с/в) и перпендикулярно вектору с координатами (А,В).

37. Общее уравнение прямой

Ax + By + C = 0. (2)

Частные случаи общего уравнения прямой:

а) Если C = 0, уравнение (2) будет иметь вид

Ax + By = 0,

и прямая, определяемая этим уравнением, проходит через начало координат, так как координаты начала координат x = 0, y = 0 удовлетворяют этому уравнению. б) Если в общем уравнении прямой (2) B = 0, то уравнение примет вид

Ax + С = 0, или .

Уравнение не содержит переменной y, а определяемая этим уравнением прямая параллельна оси Oy.

в) Если в общем уравнении прямой (2) A = 0, то это уравнение примет вид

By + С = 0, или ;

уравнение не содержит переменной x, а определяемая им прямая параллельна оси Ox.

Следует запомнить: если прямая параллельна какой-нибудь координатной оси, то в ее уравнении отсутствует член, содержащий координату, одноименную с этой осью.

г) При C = 0 и A = 0 уравнение (2) принимает вид By = 0, или y = 0.

Это уравнение оси Ox.

д) При C = 0 и B = 0 уравнение (2) запишется в виде Ax = 0 или x = 0.

Это уравнение оси Oy.

38. Уравнение прямой, проходящей через две точки: A(x1, y1) и B(x2, y2), Выглядит:

39. Уравнение прямой в отрезках

Если в общем уравнении прямой , то разделив (1) на , получаем уравнение прямой в отрезках где , . Прямая пересекает ось в точке , ось в точке .

40. Угол между прямыми.

Пусть требуется определить угол между прямыми l₁ и l₂, заданными в плоскости Oxy уравнениями А₁х+В₁у+С₁=0 и А₂х+В₂у+С₂=0. Очевидно, что n₁=(A₁;B₁) является нормальным вектором прямой l₁, а n₂=(A₂;B₂) – нормальный вектор прямой l₂. Кроме того, угол φ между нормальными векторами n₁ и n₂ равен одному их углов, образованных прямыми l₁ и l_2.

φ=(n₁^n₂) = (l₁^l₂).

Но : ___n_{1 ∙} n_{2_____}

cos φ=│n₁│∙│n₂│

Записав правую часть последнего равенства в координатной форме, получаем:

__A₁A₂ + B₁B_{2____}

cos φ = √A²₁+B²₁ √ A²₂+B²₂

Эта формула служит для определения угла между двумя прямыми, заданными их общими уравнениями.