27. Линейные операции над векторами. Длина вектора равна квадратному корню из суммы квадратов его координат.

.

(8)

Длина вектора , заданного координатами своих концов, т.е. расстояние между точками и вычисляется по формуле

.

(9)

Если и коллинеарны, то они отличаются друг от друга скалярным множителем. Следовательно, у коллинеарных векторов координаты пропорциональны:

.

(7)

Пусть точка делит отрезок между точками и в отношении , тогда радиус-вектор точки выражается через радиусы-векторы и его концов по формуле: .

Отсюда получаются координатные формулы:

.

В частности, если точка делит отрезок пополам, то и , т.е. .

Линейные операции над векторами:

1). Сложение

Свойства сложения:

- Св-во коммутативности: а+в=в+ав;

- Св-во ассоциативности: (а+в)+с=а+(в+с);

- Св-во существования вектора нейтрального относит. операции сложения: а+0=а.

2). Вычитание

Вектор с=а+(-в) назыв. разностью векторов а и в, и обознач. с=а-в.

Чтобы вычесть из вектора а вектор в, нужно к вектору а прибавить вектор –в, противоположн. вектору в.

3). Умножение вектора на число. Произведение вектора на число λ назыв.вектор, длина которого равна │λ│*│а│, а направление совпадает направлением вектора а, если λ>0,и противоположно ему , если λ<0. Свойства:

1. α(β*α)=(α*β)α;

2. (α+β)а=αа+βаж

3. α(а+в)=αа+αв.

28. Скалярное произведение векторов.

Скалярным произведением двух отличных от нуля векторов назыв. число, равное произведению длин этих векторов на косинус угла между ними.

а*в=│а│*│в│*cos φ, где φ – угол между а и в.

Свойства:

1. а*в=в*а

2. (λа)в=а(λв)=λ(ав)

3. а(в+с)=ав+вс.

29. . Векторное произведение векторов.

Векторным произведением вектора а на неколлинеарный ему вектор в называется такой вектор с, котор. удовлетворяет след. условиям:

1. Вектор С перпендикулярен плоскости, образован.векторами а и в.

2. Векторы а, в и с образуют правую тройку векторов, т.е. если из конца вектора с кратчайший поворот от вектора а к вектору в виден против часовой стрелки);

3. Длина вектора с численно равна площади параллелограмма, построенного на векторах а и в.

Векторное произведение обозначается: с=а х в.

│с│=│а│х│в│*sin α.

Свойства векторн.произведений:

1. Для любых векторов а и в пространстве справедливо равенство: а х в= -в х а

2. Для любых векторов а и в в пространстве и числа λ справедл.равенство: λа х в=а х λв.

3. Для любых 3 векторов а, в, с в пространстве справедливо равенство: (а+в)х с=ас + вс.

30. Смешанное произведение векторов.

Смешанным произведением 3 векторов а, в,с пространства назыв. число, равное скалярному произведению а х в х с. Смешан. произведен. векторов: (а х в)с, или [a,в]c, или [a,в,с].

Из определения следует, что:

(а х в)с=│а х в│*│с│*cos(a x b)^c=(│a│*│в│*sin a^b) ∙ │c│*cos(а х в)^с.

Теорема: Для любых 3 некомпланарных векторов а,в,с имеет место равенство: │(а х в)с│=V, где V – объем параллелепипеда, построенного на векторах а, в и с, т.е. модуль их смешанного произведения равен объему параллелепипеда, построенного на этих векторах, отложен. от одной точки.

Теорема: Для того, чтобы смешан.произведение 3 векторов было равно нулю, необходимо и достаточно, чтобы эти векторы были компланарны.

Свойства смешанного произведения:

1). Смешан.произведение не меняется при циклической (круговой) перестановке векторов со сомножителями, т.е.: (а х в)с=(в х с)а=(с х а)в., и знак смешан.произведения меняться на противоположный при перестановке любых 2сомножителей местами.

2). Если векторы а, в, с заданы в координатах а(x₁,y_1,z₁), в(x₂,y_2,z₂) и с(x₃,y_3,z₃), то смешан. произведение векторов равно определителю 3его порядка, составленного из координат этих векторов: │x₁ y₁ z₁│

(а х в)с = │x₂ y₂ z₂│

│x₃ y₃ z₃ │

Вектора являются компланарными, если лежат в одной плоскости.

31. Полярными координатами точки P называются радиус-вектор ρ - расстояние от точки P до заданной точки O (полюса) и полярный угол φ - угол между прямой OP и заданной прямой, проходящей через полюс (полярной осью). Полярный угол считается положительным при отсчете от полярной оси против часовой стрелки и отрицательным при отсчете в обратную сторону.

Координатные линии в полярных системах - окружности с центром в полюсе и лучи.

Формулы для перехода от полярных координат к декартовым

x=ρ*cos(φ), y=ρ*sin(φ)

и обратно:

ρ=sqrt(x2)+y2), φ=arctg(y/x)=arcsin(y/ρ)

32.? График функции.

Графиком функции называется множество всех точек плоскости с координатами х и у=f(х).

33.

34. Каноническое и параметрическое уравнение прямой.

Канонич. уравнение: Пусть прямая L проходит через точку М₀(х₀,у₀) и параллельно вектору N(а₁,а₂). Вектор, параллельный данной прямой, называется направляющим вектором этой прямой. Возьмем на прямой L произвольную точку М(х,у). Тогда векторы M₀M и n коллинераны, а значит их соответствующие координаты пропорциональны. Т.к. M₀M (x-x₀, y-y₀), то получим:

х-х₀ = у-у₀

а₁ а₂ - каноническое уравнение прямой, или уравнение прямой, проход. через данную точку с заданным направляющим вектором.