16. Равенство матриц

Матрицы A = || ai j || и B = || ai j || считаются равными, если они имеют одинаковые размеры и их соответствующие матричные элементы попарно равны: (1)

для любых допустимых значений индексов i и j.

К линейным операциям над элементами множества или пространства относятся операции сложения элементов и их умножения на скаляр (число).

Умножение матрицы на число

При умножении матрицы A на число λ (слева или справа) каждый ее матричный элемент умножается на это число:

(2)

Сложение матриц

Операция сложения определена только для матриц одинаковых размеров. Результатом сложения матриц A = || ai j || и B = || bi j || является матрица C = || ci j || , элементы которой равны сумме соответствующих матричных элементов:

(3)

Линейной комбинацией матриц A и B называется выражение вида , где и – числовые коэффициенты.

17. Умножение матрицы. Транспонирование матрицы.

1. Произведение двух матриц: А размером m x n, и В размером m x p, элементы которой определяются по формуле:

_n

С(i,j)= ∑ а_ik ∙ b_jk

^k-1

Для матриц в общем случае переместительный закон умножения не выполняется:

а ∙ в ≠ в ∙ а.

2. Каждой матрице а можно поставить в соответствие транспонированную матрицу (а^т), которая получается из матрицы а заменой соответствующих строк столбцам, или наоборот.

Транспонированная матрица имеет вид:

a_1.1 a_2.1 … a_m.1

а= a_1.2 a_2.2 … a_m.2

… … … … …

a_1.n a_{2.n. .}... a_m.n

18. . Понятие определителя. Определитель 2го, 3го порядка. Свойства определителей.

Определителем называется число, заданное в виде квадратной таблицы чисел. Он обознач. ∆ или det А. В общем вид определитель записывается след.образом:

│а_1.1 а_1.2 а_1.3 … а_1.n│

│а_2.1 а_2.2 а_2.3 … а_2.n│

∆ = │… … … … │

│ а_n.1 а_n.2 а_n.3 . ..а_.n.n│

Каждому элементу определителя a_i.j соответствуют два числа: i – это номер строки, в которой стоит элемент, j – номер столбца.

Элементы а_1.1 а_1.2 а_1.3 … а_1.n образуют первую строку определителя.

Элементы а_1.1 а_2.1 а_3.1 … а_n.1 образуют первый столбец определителя.

Элементы а_1.1 а_2.2 а_3.3 … а_n..n образуют главную диагональ определителя.

Элементы а_n.1 а_n-1.2 а_n-2.3 … а_1.n образуют второстепенную диагональ определителя.

Порядком определителя назыв. кол-во строк или столбцов в определителе.

Определитель второго порядка в общем виде выглядит так:

│а_1.1 а_1.2 │

∆ = │а_2.1 а_2.2 │

и вычисляется как разность произведений элементов по главной и побочной диагонали.

Определитель 3-его порядка в общем виде:

│а_1.1 а_1.2 а_1.3│

∆ = │а_2.1 а_2.2 а_2.3│

│а_3.1 а_3.2 а_3.3│.

Свойства определителя:

1). Значение определителя не изменится, если все его строки заменить столбцами, и наоборот.

2). Если 2 стоки (столбца) определителя поменять местами, то знак определителя изменится на противоположный.

3). Если определитель содержит строку (столбец), все элементы которого равны нулю, то и определитель будет равен нулю.

4). Если в определителе имеется 2 строки (2 столбца), элементы которых пропорциональны, то определитель равен нулю.

5). Если все элементы какой-либо одной строки умножить на одно и то же число k≠0, то значение определителя изменится в k-раз.

6). Если ко всем элементам какой-либо строки (столбца) прибавить соответсв. элементы другой строки (столбца), умноженные на одно и тоже число, то значение определителя не изменится.

19. Минором элемента a_i.j определителя ∆ n-ого порядка называется определитель n-1-го порядка, полученный из определителя n-ого порядка путем вычеркивания i-отй строки и j-го столбца. Обозначается М_i.j.

Алгебраическое дополнение элемента a_i.j вычисляется по формуле: А_i.j =(-1)^i+j ∙ M_i.j.

Определитель второго порядка вычисляется как разность произведений элементов по главной и побочной диагонали:

│а_1.1 а_1.2 │

Свойства определителя:

1). Значение определителя не изменится, если все его строки заменить столбцами, и наоборот.

2). Если 2 стоки (столбца) определителя поменять местами, то знак определителя изменится на противоположный.

3). Если определитель содержит строку (столбец), все элементы которого равны нулю, то и определитель будет равен нулю.

4). Если в определителе имеется 2 строки (2 столбца), элементы которых пропорциональны, то определитель равен нулю.

5). Если все элементы какой-либо одной строки умножить на одно и то же число k≠0, то значение определителя изменится в k-раз.

6). Если ко всем элементам какой-либо строки (столбца) прибавить соответсв. элементы другой строки (столбца), умноженные на одно и тоже число, то значение определителя не изменится.

20. . Обратная матрица.

Каждой квадратной матрице, определитель которой не равен нулю, можно поставить в соответствие обратную матрицу.

Матрицей, обратной данной матрице А, называется такая матрица, которая, будучи умноженной на матрицу А, даст единичную матрицу. Обратная матрица обозначается А^-1.

Тогда А ∙ А^-1=А^-1 ∙А=Е.

Обратная матрица вычисляется следующ. образом:

А_1.1 А_1.2 А_1.n

∆ ∆ ∆

A^-1= А_2.1 А_2.2 А_2.n

∆ ∆ ∆

А_.m1 А_.m2 А_m.n

∆ ∆ ∆

21. Системы линейных уравнений.

Системой m – линейных уравнений с n-неизвестными называется система вида

а_1.1х₁ + а_1.2х₂+…+ а_1.nх_n = в₁

а_2.1х₁ + а_2.2х₂+…+ а_2.nх_n= в₂

… …. … … ….

а_.m.1х₁ + а_.m.2х₂+…+ а_m.nх _n= в_m

где х₁, х₂, …, х_n – неизвестные величины;

а_1.1, а_1.2, …, а_m.n - коэффициенты при неизвестных величинах;

в₁, в₂,…, в_m – свободные члены (столбец свободных членов).

Решением системы называется такое значение переменных х₁, х₂, …, х_n , при которых каждоеиз уравнений, входящих в систему, обращается в верное числовое равенство.

Если m<n, т.е. количество неизвестных больше количества уравнений, входящих в систему,

то система имеет бесчисленное множество решений.

Если m≥n, то система может иметь единственное решение, не имеет решения или иметь бесчисленное количество решений.

Система, которая имеет хотя бы одно решение, называется совместной.

22. Решение систем линейных уравнений методом Крамера.

Для решения системы n-линейных уравнений с n-неизвестными методом Крамера вычисляется главный определитель ∆, составленный из коэффициентов при неизвестных, и определителей ∆х₁, ∆х₂, …, ∆х_n, которые получаются из главного определителя путем замены столбца коэффициентов, стоящих при соответств. неизвестной на столбец свободных членов.

Тогда решение системы находится по следующ. формулам:

∆х_ ∆х₂ ∆х_n

х₁ = ∆ х₂ = ∆ х_n = ∆.

23. . Решение систем линейных уравнений методом обратной матрицы.

В матричной форме систему линейных уравнений можно записать след.образом:

АХ=В, где А – матрица, состоящая из коэффициентов при неизвестных, Х – матрица неизвестных величин), В – матрица свободных членов.

Умножив обе части равенства на матрицу, обратную матрице А, получим:

А^-1 ∙ АХ=А^-1∙ В

Е ∙ Х=А^-1 ∙ В

Х=А^-1 ∙ В.

24. Решение систем линейных уравнений методом Гаусса.

При решении систем линейных уравнений методом Гаусса систему преобразовывают так, чтобы при первом неизвестном в первом уравнении коэффициент не был равен нулю. С этой целью иногда приходится менять местами уравнения и неизвестные. (выбирается ведущее уравнение и ведущая переменная). Далее, добавляя или вычитая из остальных уравнений первое уравнение, умноженное на некоторое число, исключаем из всех уравнений, начиная со второго, первую переменную. Затем так же процесс последовательного исключения переменных повторяем для второго, третьего, и т.д. уравнений, пока система не примет треугольный вид. Тогда из последнего уравнения находим значение переменной, подставляя это значение в предпоследнее уравнение, находим значение следующей переменной, и т.д., пока не будут найдены значения всех переменных.

25.

26. Базис. Координаты вектора в базисе. Декартова

Определим понятие базиса на прямой, плоскости и в пространстве.

Базисом на прямой называется любой ненулевой вектор на этой прямой. Любой другой вектор , коллинеарный данной прямой, может быть выражен через вектор в виде .

Базисом на плоскости называются любых два линейно независимых вектора и этой плоскости, взятые в определенном порядке. Любой третий вектор , компланарный плоскости, на которой выбран базис может быть представлен в виде .

Базисом в трехмерном пространстве называются любые три некомпланарных вектора , взятые в определенном порядке. Такой базис обозначается . Пусть ‑ произвольный вектор трехмерного пространства, в котором выбран базис . Тогда существуют числа такие, что.

(4)

Коэффициенты называются координатами вектора в базисе , а формула (4) есть разложение вектора по данному базису.

Координаты вектора в заданном базисе определяются однозначно. Введение координат для векторов позволяет сводить различные соотношения между векторами к числовым соотношениям между их координатами. Координаты линейной комбинации векторов равны таким же линейным комбинациям соответствующих координат этих векторов.