1.
2.
3. Метод математической индукции.
Принцип матем.индукции:
Предложение p(n) считается истинным для всех натуральных значений переменной, если выполнены следующие 2 условия:
1). Предложение p(n) истинно для n=1.
2). Для любого натурального k из предположения, что p(n) истинно для n=k следует, что оно истинно и для n=k+1.
Под методом матем.индукции понимают способ доказательства, основанный на принципе матем.индукции, т.е. если требуется доказать истинность предложения p(n) для всех натуральных значений n, то сначала проверяют истинность высказывания p(1), и затем, допустив истинность высказывания p(k), доказывают истинность высказывания p(k+1).
Обобщение метода матем.индукции.
Иногда метод маетм.индукции применяют для доказательства истинности предложения p(n) не для всех натуральн.значений n, а для всех n, начиная с некоторого натурального числа m. В таких случаях сначала проверяется истинность высказывания p(m).
4. .Факториал. Сочетания. Формула числа сочетаний.
Произведение последовательных натуральн.чисел от единицы до n называется n-факториалом, и обозначается n!.
Напр., 1*2*3*n=n!.
Сочетанием из n-элементов по k-элементов называется любое подмножество из k элементов множества, содержащего n элементов.
Число сочетаний из n-элементов по k элементов обозначается Ckn, и вычисл.по формуле Ckn=n!/k!(n-k)!
Свойства сочетаний:
1. Ckn =Cn-kn
2. Ckn + Ck+1n+1
5. Бином Ньютона.
Формула Бинома Ньютона позволяет возводит двучлен а+в в любую натуральную степень n.
Ньтоном было установлено, что (a+b)n=C0nanbn+ C1nan-1bn-1+ C2nan-2bn-2 +…+Cknan-kbn-k + … + Cnna0bn, где Ckn – число сочетаний.
Эта формула позволяет возводить двучлен в любую стпень, доказывается методом математич. индукции.
Если необходимо найти член разложеня с номером k, то он будет вычисляться по формуле: Ck-1nan-(k-1)bk-1 .
6. Множества. Действия над множествами.
Множество представляет собой соединение, совокупность, собрание некоторых предметов, объединенных по какому-либо признаку.
Если любой элемент множества В является и элементом множества А, то множество В называют подмножество множества А.
Действия над множествами:
1. Объединение множеств (А U В).
Объединением множества А и В назыв. такое множество С, которое состоит из всех элементов множеств А и В, и только из них. В этом случае пишут: А U В.
2. Вычитание множеств:
Множество С, которое состоит из всех элементов множества А, не принадлеж. множеству В, назыв. разностью множеств А и В и обознач. А \ В.
Если А принадл.В, то разность А \ В назыв. дополнением множества В до множества А.
7. Алгебраические многочлены. Теорема Безу.
Функция f(x)=A0xn+A1xn-1+A2xn-2+…, где n – целое число, назыв. многочленом (полиномом), или целой рацион. функцией от числа x. Число n назыв. степенью многочлена. Коэффициенты A0, A1,A2, … это действит. или комплексн.числа. Переменная x также может принимать действит. или комплексн.значения. Корнем многочлена назыв. такое значение х, при котором многочлен обращается в 0.
Теорема Безу: При делении многочлена f(x) на разность x-a получается остаток, равный f(a).
Доказательство: При делении многочлена f(x) на х-а частным будет многочлен f1(x), степень которого на единицу меньше степени многочлена, а остатком будет постоянное число R: f(x)=(x-a)f1x+R.
Cледствие: Если а является корнем многочлена, т.е. f(a)=0, то f(x) делится без остатка на х-а, следовательно, f(x)=(x-a)f1(x).
Теорема 2(основная теорема алгебры): Всякая целая рациональная функция f(x) имеет, по крайней мере, один корень, действительный или комплексный.
Теорема 3: Всякий многочлен n-степени разлагается на n-линейных многочленов вида х-а и множитель, равный коэффициенту при xn:
f(x)=A0(x-a1)(x-a2)(x-a3)…(x-an).
Всякий многочлен n-степени имеет n-корней(действит. или комплексных).
Теорема 4: Если многочлен f(x) с действит.коэффициентами имеет комплексный корень a+bi, то он имеет и сопряженный корень a-bi.
8. . Комплексные числа. Геометрическая интерпретация комплексного числа.
Действит.чисел не достаточно для решения многих практических задач. Простейшее квадратн.уравнение x2+1=0 во множестве действит.чисел решить нельзя. Для расширения понятия числа ввели обозначение √-1=i, и назвали "мнимой единицей", т.е. x2=-1.
Комплексным числом z назыв.число вида a+bi, где a и b – действит.числа, а i – мнимая единица. 2 комплексн.числа z1=a+bi и z2=c+di считаются равными, если равны их действит.части и коэффициенты при мнимых частях (a=c, b=d).
Числа z1=a+bi и z2=a-bi назыв. сопряженными.
Числа z1=a+bi и z2=-a-bi назыв. противоположными.
Т.к каждому комплексн.числу z=a+bi соответствует пара действит.числе a и b, а каждой паре действит.чисел на плоскости соответств. единственная точка, то комплексные числа можно изображать точками координатн.плоскости. На оси абсцисс (ОХ) откладывается действит.часть (a), поэтому эту ось назыв.действительной осью; на оси ординат (ОУ) откладывается коэффициент при мнимой части, поэтому эту ось назыв. мнимой.
Т.к. каждому комплексн.числу z=a+bi соотв. единственная точка с координатами (a;b), а каждой точке плоскости соотв. свой радиус вектор,то комплексн. числа можно изображать при помощи векторов
Длина радиусвектора соотв.комплексн. числу z=a+bi, назыв. модулем комплексн.числа и обознач. r, а угол, образован.радиус-вектором с положит.направлением ОХ, назыв. аргументом комплексн.числа и обознач. arg z:
│z│=r= √a2+b2.
z=a+bi
b/r=sin φ a/r=cos φ
9. Операции над комплексн.числами
(z1=a+bi, z2=c+di);:
1). Сложение: z1+z2=(a+bi)+(c+di)=(a+c)+i(b+d). Для сложениянеобход. сложить их действит.части и коэффициенты при мнимых частях.
2). Вычитание: z1-z2=(a+bi)-(c-di)=(a-c)+i(b-d).
3). Умножение: z1*z2=(a+bi)*(c+di)=(ac)+adi+cbi+bdi2=ac+i(ad*cb)-bd . !(bdi2=-bdi).
4). Деление: z1/z2=a+bi/c+di=(a+bi)(c-di)/(c+di)(c-di)=ac-adi+bci-bdi2/c2-d2i2=ac+bd+(bc-
- ad)i/c2+d2=ac+bd/c2+d2 + (bc-ad)i/ c2+d2
10. Тригонометрическая форма комплексн.чиисла.
Из геометрической интерпретации комплексн.чисел можно записать, что a=r*cos φ, b=r*sin φ. Тогда комплексн.число z=a+bi можно записать в виде z=r*cos φ+ r*sin φi, или
z=r(cos φ+i*sin φ). Эта форма записи комплексн.числа назыв.тригонометрической.
Действия над компл.числами в тригоном.форме:
z1=r1(cosφ1+sin φ1); z2=r2(cosφ2+sin φ2);
1).Умножение z1*z2= r(cosφ1+sin φ1)* r2(cosφ2+sin φ2)=r1*r2(cosφ1*cos φ 2+icos φ 1*sin φ 2 +isin φ 1*cos φ 2 - sin φ1*sin φ 2)=r1*r2(cos(φ 1+φ 2)+isin(φ 1+φ 2));
2).Деление: z1/z2= r1(cosφ1+sin φ1) /r2(cosφ2+sin φ2)=(r1/r2)*cos(φ1- φ2)+i*sin(φ1- φ 2).
3)Возведение в степень: zn=rncos n φ +isin n φ (формула Муабра);
4).Извлечение корня: n√z=z1/n; => n√z= n√r * cos (φ+2πk/n) + i*sin (φ+2πk/n).
11. ).Умножение z1*z2= r(cosφ1+sin φ1)* r2(cosφ2+sin φ2)=r1*r2(cosφ1*cos φ 2+icos φ 1*sin φ 2 +isin φ 1*cos φ 2 - sin φ1*sin φ 2)=r1*r2(cos(φ 1+φ 2)+isin(φ 1+φ 2));
2).Деление: z1/z2= r1(cosφ1+sin φ1) /r2(cosφ2+sin φ2)=(r1/r2)*cos(φ1- φ2)+i*sin(φ1- φ 2).
12. Извлечение корня: n√z=z1/n; => n√z= n√r * cos (φ+2πk/n) + i*sin (φ+2πk/n).
13. Показательная форма числа.
Эйлером было установлено, что е iφ= cos φ + i sin φ. Тогда комплексное число z=cos φ + i*sin φ можно записать в виде: z=r * ei φ
Действия над комплексн.числами в показат.форме:
Сложение и вычитание в показат.форме не выполняются!
1). Умножение: z1*z2=r1 ei φ1 * r2 * ei φ1=r1r2*ei(φ1+ φ2);
2). Деление: z1/z2=r1 * ei φ1/r2 * ei φ2=(r1/r2) ei(φ1 – φ2);
3). Возведение в степень: zn=(r*ei φ )2= rn ei nφ ;
4). Извлечение корня: n√z=n√r * ei*(φ+2πk/n);
где k – 1,2,3,…,n-1.
14. Действия над комплексн.числами в показат.форме:
Сложение и вычитание в показат.форме не выполняются!
1). Умножение: z1*z2=r1 ei φ1 * r2 * ei φ1=r1r2*ei(φ1+ φ2);
2). Деление: z1/z2=r1 * ei φ1/r2 * ei φ2=(r1/r2) ei(φ1 – φ2);
3). Возведение в степень: zn=(r*ei φ )2= rn ei nφ ;
4). Извлечение корня: n√z=n√r * ei*(φ+2πk/n);
где k – 1,2,3,…,n-1.
15. Определение матрицы. Виды матриц.
Для описания многих математических и экономических моделей иногда приходится использовать большое количество однотипных величин. В этом случае данные удобно представлять в виде таблиц. Матрицей размера m x n называется прямоугольная таблица чисел, содержащая m-строк и n-столбцов.
В общем виде матрица записывается следующ.образом:
a1.1 a1.2 … a1.n
а= a2.1 a2.2 … a2.n
… … … … …
am.1 am.2 .... am.n
Каждый элемент матрицы имеет 2 индекса: первый (i) – номер строки, в которой содержится элемент, второй (j) – номер столбца.
Если m=n, то матрица называется квадратной. Квадратн.матрица записывается след.образом:
a1.1 a1.2 … a1.n
а= a2.1 a2.2 … a2.n
… … … … …
an.1 an.2 .... an.n
Элементы матрицы a1.1 a2.2 … an.n образуют главную диагональ матрицы.